円に外接する四角形

円に外接する四角形

平面幾何学において、円に外接する四角形（接線四辺形）とは、そのすべての辺が同一の円に接する凸四角形です。この円を内接円、中心を内心、半径を内半径と呼びます。接線四辺形は、円外接多角形の一種です。

特性

接線四辺形は、いくつかの特徴的な性質を持っています。

ピトーの定理: 2組の対辺の長さの和が等しく、その値は四角形の半周長に一致します。つまり、辺の長さをa, b, c, dとすると、a + c = b + d = (a + b + c + d) / 2 が成り立ちます。この性質は、四角形が円に外接するための必要十分条件でもあります。
角の二等分線: 4つの角の二等分線は内心で交わります。逆に、4つの角の二等分線が一点で交わる四角形は、接線四辺形です。
面積: 面積は、内半径rと半周長sを用いて、K = rs と表すことができます。また、対角線の長さp, qを用いた公式や、接点と頂点の距離を用いた公式など、複数の面積計算方法が存在します。三角関数を使った公式も存在します。
内半径: 内半径rは、面積Kと半周長sを用いて、r = K/s と表すことができます。接点の距離を用いた公式や、頂点と内心の距離を用いた複雑な公式も存在します。
接点: 内接円と各辺の接点は、接線四辺形を4つの直角凧形に分割します。これらの接点を結んでできる四角形は、円に内接する四角形となります。
対角線: 対角線の長さや、対角線と辺の成す角は、接線長や辺の長さから計算できます。
不等式: 面積Kと辺長a, b, c, dについて、K ≤ √(abcd) が成り立ちます。等号成立条件は、四角形が双心四角形（内接円と外接円を持つ四角形）である場合です。また、半周長sと内半径rについて、s ≥ 4r が成り立ち、等号成立条件は四角形が正方形である場合です。

特殊な場合

接線四辺形には、以下の特殊な場合が含まれます。

ひし形: 対角線が等しい接線四辺形はひし形です。
凧形: 対角線が直交する接線四辺形は凧形であり、直交対角線四角形でもあります。
正方形: 正方形は、接線四辺形であり、ひし形、凧形でもあります。
双心四辺形: 内接円と外接円を持つ四角形です。
円に外接する台形: 2つの辺が平行な接線四辺形です。

その他の性質

接線四辺形に関する様々な性質が知られています。例えば、対角線と接線長に関する関係式、内心の位置関係、面積に関する不等式、分割に関する性質などがあります。

関連用語

外接円
傍接四辺形
接線三角形
円外接多角形

まとめ

円に外接する四角形は、ピトーの定理に代表される多くの興味深い性質を持つ図形です。その幾何学的性質は、様々な分野で応用されています。

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