可除群

可除群の基本概念

可除群（divisible group）は、群論、特にアーベル群の分野において際立った役割を果たします。この群は、全ての元が正の整数によって割り切れる特徴を備えています。アーベル群 (G, +) が可除であるためには、任意の正の整数 n と任意の元 g ∈ G に対して、g を n 倍元として表現できる元 y ∈ G が存在しなければなりません。この定義は、任意の正の整数 n に対する nG = G という形でも表現可能です

可除群が持つ特性は、アーベル群の構造を理解する上で非常に重要です。特に、可除群は入射アーベル群と呼ばれることもあり、群の圏において重要な役割を果たしています。もし G が可除群であれば、そのすべての商群もまた可除であるため、可除性は非常に重要な性質となります。

可除群の具体例

具体例としては、有理数全体の集合 Q が加法の下で可除群を成すことが挙げられます。さらに、Q 上の任意のベクトル空間を加法群と見なすと、これも可除な性質を持ちます。また、商群 Q/Z も可除群の一例です。さらに、複素数体の乗法群 C* も可除です。

性質とその影響

可除群に属するアーベル群の部分群は、直和因子として機能します。この性質から、任意のアーベル群は可除群に埋め込むことができ、非自明な可除群は有限生成でないことが確認されています。このように、全てのアーベル群が可除群の一意的な本質部分群として埋め込まれることが可能であり、群の構造をより深く理解する手助けとなります。

アーベル群が全ての素数 p に対して p-可除であることと、可除であることが同値であることも興味深い点です。この性質は、可除群の構造定理に基づきます。

可除群の構造定理

可除群 G の捩れ部分群 Tor(G) もまた可除であり、可除群は入射加群に分類されます。このため、G は次のように表現されます：

G = Tor(G) ⊕ G/Tor(G)

ここで、G と Tor(G) の商は可除であり、さらにトーションがないことから、Q 上のベクトル空間としての性質も備えています。

このことから、様々な素数 p に対する p 準素成分 I_p の存在を示すと、G の全体の構造が明らかになっていきます。全ての素数に応じた構造を考慮することで、より複雑な可除群が形成されます。

移入包絡と被約アーベル群

また、可除群の重要な概念の一つに移入包絡があります。任意のアーベル群 A は可除群 D に本質的部分群として埋め込むことができ、これがアーベル群の圏における移入包絡を形成します。

被約アーベル群とは、その可除部分群が {0} のみで構成されるものを指しますが、すべてのアーベル群は可除部分群と被約部分群の直和として表現されることができます。このように、群理論における可除性は非常に多くの概念と関連し、特にアルジェブラの深い洞察を提供してくれるのです。

可除群の一般化

可除群の概念は可除加群にまで拡張され、環 R に対していくつかの異なる定義が設けられています。これにより、可除群の性質がより広範な状況で適用されるようになります。具体的な条件としては、すべての非零スカラーが適用されること、または主左イデアルからの準同型が拡張されることが挙げられます。

このように、可除群は様々な数学の分野においてその重要性を持ち続け、群論だけでなく他の分野との関係も示しています。

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