商線型空間

商線型空間

商線型空間は、線型代数学において重要な役割を果たします。この概念は、ベクトル空間 V とその部分空間 N に関連しており、N に属するベクトルを零ベクトルとして扱うことで得られる新しいベクトル空間です。商線型空間は通常、V/Nという記法で示されます。

定義

商線型空間 V/Nは、V 上の同値関係によって定義されます。この同値関係は、2つのベクトル x と y が同値であるとは、x - y が N に属する場合に成立すると定義されます。これは言い換えれば、x に N の元を加えることで y に変換できるということを意味します。このため、N の任意の元は零ベクトルと同等であり、省略が可能です。

具体的には、ベクトル x の同値類 [x] は次のように表されます：

$$
[x] = {x + n | n ∈ N}
$$

これにより、商空間 V/N は同値関係に基づく全同値類の集合として定義されます。

演算

商空間におけるベクトルの加法とスカラー乗法は次のように定義されています。

• - スカラー乗法：

$$
α[x] := [αx] \, (α ∈ K)
$$

• - 加法：

$$
[x] + [y] := [x + y]
$$

この演算は新たなベクトル空間の構造を維持しており、N を零ベクトルとすることで商空間は確立されます。各元 v ∈ V は、その属する同値類 [v] へと写像され、これを商写像または標準射影と呼びます。

例

具体例として、標準座標平面 R² を考え、原点を通る直線 Y を定義します。この際、商空間 X/Y はYに平行なX上の全ての直線の空間と同じものであると理解できます。別の例としては、Rn の最初の m 個の標準基底ベクトルで張る部分空間が挙げられます。この場合、商空間 Rn/Rm は Rn-m に線型同型となります。

性質

商空間 V/U への自然な全射準同型が存在し、その核は部分空間 U に一致します。この関係は次の短完全列でまとめられます：

$$
0 o U o V o V/U o 0
$$

また、U が V の部分空間である場合、V/U の次元は U の余次元として定義されます。このため、次元の関係は次のように表すことができます。

$$
ext{codim}(U) = ext{dim}(V/U) = ext{dim}(V) - ext{dim}(U)
$$

この定理に基づき、任意の線型作用素 T の核に関する第一同型定理も存在し、商空間 V/ker(T) は W における V の像と同型であることを示しています。

バナッハ空間の商空間

バナッハ空間 X の閉部分空間 M に対して、商空間 X/M は再びバナッハ空間を形成します。この場合、ノルムは次のように定義されます：

$$
ext{‖[x]‖}_{X/M} = ext{inf}_{m ext{ in } M} ‖x - m‖_{X}
$$

この商空間 X/M は BおよびBの性質により、完備な空間としての特性を保持します。

局所凸空間への一般化または関連項目

局所凸空間の閉部分空間による商は再び局所凸となります。さらに、Xが距離化可能ならば、X/Mも同様に距離化可能であることが示されています。関連項目としては、商集合や剰余群、剰余環、剰余加群があり、これらは同じく同値類にも関連しています。

商線型空間は、線型代数学のみならず、数理解析や幾何学においても重要な概念であり、さまざまな数学的構造を理解する鍵となります。

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