回転 (数学)

回転の数学：二次元から四次元、そして相対論へ

この文書では、幾何学における回転の概念を、二次元から四次元、そして特殊相対論への応用まで、多角的に解説します。回転とは、空間内の一点を中心に剛体が移動する変換であり、平行移動や鏡映とは明確に区別されます。回転の記述には、様々な数学的ツールが用いられ、それぞれの利点と欠点が存在します。

二次元回転

二次元平面における回転は、原点を中心とした反時計回りの回転角θによって完全に決定されます。この回転は、行列や複素数を使って表現できます。

行列による表現:

点(x, y)をθだけ回転させた点(x', y')は、以下の行列を用いて表現されます。


[x'] [cosθ -sinθ] [x]
[y'] = [sinθ cosθ] [y]


この式は、x' = xcosθ - ysinθ、y' = xsinθ + ycosθ と展開できます。

複素数による表現:

点(x, y)を複素数z = x + iyで表すと、θ回転後の点z'は、z' = e^(iθ)z となります。オイラーの公式を用いると、これは行列による表現と等価であることが示せます。二次元回転は可換であり、回転の順序は結果に影響しません。

三次元回転

三次元空間における回転は、二次元の場合とは異なり、可換ではありません。回転の順序が結果に影響するため、回転を記述する方法はより複雑になります。三次元回転は3つの自由度を持ち、その表現方法には以下のようなものがあります。

行列による表現:

三次元回転は、3x3の直交行列Aを用いて表現されます。この行列の行列式は1でなければならず、行ベクトルは正規直交基底を成します。A[x, y, z]^T = [x', y', z']^T

オイラー角:

オイラー角は、3つの回転角（ロール、ピッチ、ヨー）を用いて回転を表現する方法です。視覚的に理解しやすい反面、ジンバルロックと呼ばれる問題があり、特定の回転では一意にオイラー角が定まりません。

軸角:

軸角は、回転軸と回転角を用いて回転を表現する方法です。回転軸は単位ベクトルで表され、回転角はその軸周りの回転角度です。視覚的に理解しやすく、オイラー角よりも計算が単純な場合もあります。

四元数:

四元数は、4つの実数の組で回転を表す方法です。行列やオイラー角よりも記述が簡潔で、計算効率も良いことから、コンピュータグラフィックスなどで広く用いられています。回転は、四元数qを用いてx' = qxq⁻¹のように表現されます。

四次元回転

四次元空間における回転は、回転軸を持たず、互いに直交する2つの回転不変面を持ちます。2つの回転角ω1とω2によって決定され、ω1 = ω2のとき二重回転、ω1またはω2が0のとき単回転となります。四次元回転の自由度は6です。

相対論への応用

四次元回転は、特殊相対論における時空におけるローレンツ変換として応用されます。空間的な回転に加え、時間と空間の混合回転であるブーストを表すことができます。ローレンツ変換全体の集合はローレンツ群を形成します。

一般化

n次元空間における回転は、n x nの直交行列で表現されます。行列式が1の直交行列全体の集合は特殊直交群SO(n)を形成します。複素数の世界では、ユニタリ行列と特殊ユニタリ群SU(n)が対応します。SU(2)は量子力学におけるスピンの回転に用いられます。

この文書では、回転の数学的な側面について解説しました。様々な表現方法の特性を理解することで、それぞれの用途に最適な方法を選択することができます。

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