図形数

図形数の概要

図形数（ずけいすう）は、規則的に配置された点の数を表す自然数のことを指します。古代ギリシアのピタゴラス学派に由来し、「万物は数である」という思想に基づき、数と図形の結びつきが探求されてきました。特に、特定の図形に関連する数のうち、正方形や三角形に関連する数が有名です。正方形の図形数は平方数であり、特に「四角数」として知られています。

用語の定義

図形数に対応する英語としては、figurate number、figured number、figural numberが存在しますが、その意味や範囲は異なる場合があります。古代ギリシアで用いられた図形数のほか、4次元以上の図形に関する数も含まれることがあります。また、figurate numberを「装飾数」と訳した例もあります。

歴史的背景

紀元前6世紀のピタゴラス学派では、三角数や四角数を使って数の性質を示しました。例えば、正方形の点を基に次の大きな正方形を作るためには、L字形の部品を追加するだけで良いことを発見しました。これは、初めのn個の奇数の和がn番目の四角数になることを示しています。現代的な記法で表すと、以下のようになります。

$$
1 + 3 + 5 + dots + (2n - 1) = n^2
$$

この特徴を利用して、無限のピタゴラス数を導くことも可能でした。さらに、三角数の2倍は矩形数となることから、1からnまでの和の公式も導かれます。

$$
1 + 2 + 3 + dots + n = \frac{1}{2}n(n + 1)
$$

図を使って数の性質を確認することができ、例えば、連続三角数の和は四角数になります。これを現代的な式で表すと、自明なものも多いです。

プルタルコスの記録によれば、三角数の8倍に1を加えると四角数になるという興味深い性質もあります。

多角数の発展

紀元前2世紀には、ヒュプシクレスが三角数と四角数を一般化した多角数を定義しました。スミュルナのテオン、ニコマコス、イアムブリコスなども多角数について言及しています。特に2世紀のニコマコスは、その著書『算術入門』で多角数を等差数列の和として定義し、立体数についても述べています。

多角数は、四面体数や四角錐数、立方体数に至るまで、様々な形が考えられ、数学的な研究は続きました。1544年にはマイケル・シュティーフェルが高次元版図形数を定義し、さらに近世ヨーロッパの数学者たちも多角数について研究を行いました。

グノモンの概念

四角数を大きくする際に必要な部品は「グノモン」と呼ばれました。この言葉は元々、日時計の影を作るための直立の棒を意味していました。エウクレイデスの『原論』では、この言葉が平行四辺形にも拡張されて定義されています。アレクサンドリアのヘロンも、この部品を追加することで相似な図形を得ることを学びました。

後にアラビア数学者アル＝カラジによって、グノモンの考え方を用いて三乗和の公式が示されました。

まとめ

図形数は、数と図形の関係を深く探求する分野であり、古代から現代にかけて多くの数学者によって研究されてきました。特にピタゴラス学派が初めて数と図形の結びつきを理論化したことは、数論の発展に寄与しています。今後も図形数に関する発見が続くことが期待されます。

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