固有状態熱化仮説

固有状態熱化仮説 (ETH)

固有状態熱化仮説（ETH）は、孤立量子系がどのように平衡統計力学の法則に従って振舞うかを説明するための理論です。この仮説は、特に初期状態が熱力学的平衡から逸脱している場合に、時間が経つにつれて系がいかにして平衡状態に緩和していくかを理解するために進められました。

この概念は1994年にマーク・スレドニキによって初めて提唱されましたが、類似のアイデアは1991年にジョシュ・ドイチュによっても導入されていました。ETHの中心的な思想は、古典的なエルゴード性理論に代わって、量子系のエネルギー固有状態における物理量の行列要素を考察することです。このアプローチは、動的カオスによるエルゴード性の説明ではなく、オブザーバブルの性質に焦点を当てています。

動機

この仮説の背後にある動機は、ミクロカノニカルアンサンブルの独自性です。ミクロカノニカルアンサンブルは、全エネルギーが一致する孤立系に対して、すべての微視的状態が等確率で存在すると仮定します。この仮説に基づいて、オブザーバブルのアンサンブル平均は、エネルギーが同じすべての微視的状態の物理量の算術平均になります。この考え方は古典力学におけるエルゴード性の仮定に基づき、多くの実際の量子系にも適用可能です。

しかし、量子系においては、時間発展の際にエネルギー固有状態を一様に標本化しないため、エルゴード性がそのまま成り立つわけではありません。各エネルギー固有状態における期待値は、長時間の平均として初期状態によって影響を受け続けます。このため、孤立量子系がどのようにして熱平衡に至るのかは一般的な問題とされています。

ETHの主張

ETHが主張することは、エネルギー固有状態を基にした任意の初期状態に対して、オブザーバブルの期待値がミクロカノニカルアンサンブルによる予測値に向かって時間と共に収束し、その周りで小さなゆらぎを持ち続けるということです。

この主張を裏付けるために、対角成分の変化がエネルギーの関数として滑らかであり、異なる対角成分間の差が系のサイズに応じて指数的に小さくなる必要があります。特に、非対角成分は対角成分に比べて相対的に小さくなることが求められ、これによって期待値が安定した値近くに収束することが保証されます。

ミクロカノニカルアンサンブルとの関係

ETHの重要なポイントは、対角アンサンブルの期待値が初期状態に強く依存する一方で、ミクロカノニカルアンサンブルからの期待値は初期状態に無関係であることです。ETHを満たす場合、オブザーバブルの期待値は、平衡状態での特性値と一致することが求められます。しかし、すべてのオブザーバブルがETHに従うわけではなく、特定の条件下でのみ成立することが知られています。

検証と今後の課題

ETHが提唱されてから、研究者たちはさまざまなデータや理論でその正しさを確認してきました。その中には小さな格子系における数値的な結果が含まれています。しかし、数多くの興味深い断例や制約も存在し、ETHがすべての孤立系に当てはまるかどうかは未解決なままです。特に、可積分系は熱化しない可能性が示唆されており、ETHの基礎を成す理論の一般性にはさらなる検討が必要です。

結論

固有状態熱化仮説は、孤立量子系の平衡化過程についての理解を深めるための重要な理論です。様々な実験的証拠が支持する一方で、未解決の課題も多く、今後の研究によってさらに洗練された理論の構築が期待されています。

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