埋め込み (数学)

埋め込み（embedding）

数学における「埋め込み」とは、ある構造を持つ対象を、その構造を保ちながら、別のより大きな構造の中に位置づける単射写像です。保たれるべき「構造」は数学の分野によって異なり、多様な文脈で精密な定義が用いられます。

各分野での定義

位相空間論

位相空間 `X` から `Y` への埋め込みは、単射連続写像 `f: X → Y` で、`X` とその像 `f(X)`（`Y` の相対位相を持つ）との間の同相写像です。これは位相構造を完全に保つ写像であり、空間の位相的性質を示します。

微分トポロジー

滑らかな多様体 `M` から `N` への滑らかな写像 `f: M → N` において、微分 `df` が至るところ単射であるとき「はめ込み」と呼びます。埋め込み（滑らかな埋め込み）は、はめ込みであり、かつ像 `f(M)` への同相写像となる単射です。埋め込みの像は部分多様体です。

リーマン幾何学

リーマン多様体 `(M, g)` から `(N, h)` への等長埋め込みは、滑らかな埋め込み `f: M → N` で、計量 `g` を `h` に写すものです。すなわち、任意の接ベクトル `v, w` に対し g(v, w) = h(df(v), df(w)) が成り立ち、長さや角度が保たれます。

代数学

代数構造 `X` から `Y` への埋め込みは、単射準同型（モノ射）です。体論では、体 `E` から体 `F` への環準同型 `σ: E → F` は必ず単射となるため埋め込みと呼ばれ、`E` は `F` の部分体 `σ(E)` と同型です。

順序理論と領域理論

半順序集合 `X` から `Y` への埋め込み `F: X → Y` は、任意の `x₁, x₂ ∈ X` に対し x₁ ≤ x₂` ⇔ `F(x₁)` ≤ `F(x₂)` となる写像です。順序関係を完全に保ちます。領域理論では追加条件があります。

距離空間とノルム空間

距離空間 `X` から `Y` への埋め込み `φ: X → Y` は、ある `L, C > 0` で、任意の `x, y ∈ X` に対し L d_X(x, y) ≤ d_Y(φ(x), φ(y)) ≤ C L d_X(x, y) を満たす写像です。`C` は歪みです。ノルム空間では線型埋め込みが重要視されます。

圏論

圏論で一般的な定義は困難ですが、埋め込みはモノ射であり、合成について閉じていることが期待されます。

このように、「埋め込み」は、構造を保ちつつ対象を別の構造へ写す単射写像という共通理念のもと、分野ごとの文脈で精密な定義がされています。

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