リーマン幾何学

概要

リーマン幾何学は、19世紀半ばにドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって基礎が築かれた微分幾何学の一分野です。この分野では、「リーマン計量」あるいは「擬リーマン計量」と呼ばれる、空間上の距離や角度を測るための一般的な仕組みを備えた「多様体」という図形を研究します。このような構造を持つ多様体は、それぞれリーマン多様体、擬リーマン多様体と呼ばれます。

リーマン幾何学の概念を用いることで、従来の幾何学、例えば平面幾何学（ユークリッド幾何学）、球面幾何学（楕円幾何学）、双曲幾何学といったものを、それぞれ異なる一定の曲率を持つ空間（ユークリッド空間、球面、双曲空間）上の幾何学として統一的に理解することが可能になります。

物理学との関連

リーマン幾何学は、現代物理学、特にアインシュタインが構築した一般相対性理論において極めて重要な役割を果たしています。アインシュタインは、重力という現象が、空間と時間が一体となった「時空」が物質の存在によって曲がることで生じると考えました。この湾曲した時空を数学的に記述するために、リーマン幾何学における擬リーマン多様体の枠組みが不可欠でした。このように、リーマン幾何学は宇宙の構造や重力の性質を探求する上で、数学的な言語として機能しています。

主要な定理群

リーマン幾何学には、多様体の局所的な幾何学的性質（特に曲率）と、その大域的な位相的構造や幾何学的な振る舞いを関連付ける数多くの重要な定理が存在します。以下に、その中でも代表的なものをいくつか紹介します。これらの定理は、限られた局所的な情報から、多様体全体の形や性質に関する深い知見を引き出します。

一般的な基盤

ガウス・ボネの定理：コンパクトな2次元リーマン多様体について、そのガウス曲率を多様体全体で積分した値が、多様体のトポロジー不変量であるオイラー標数と単純な関係にあることを示します。これはより高次元の偶数次元多様体にも一般化されています。
ナッシュの埋め込み定理：全てのリーマン多様体は、たとえそれが抽象的な空間であっても、十分高い次元のユークリッド空間の中に、距離を保ったまま（等長的に）実現できることを保証する画期的な定理です。

曲率と大域構造の関連

多様体の曲率は、その空間がどの程度「曲がっているか」を示す指標であり、リーマン幾何学における研究の中心の一つです。

断面曲率に関する定理：
断面曲率が特定の範囲（例えば1/4と1の間）に「挟まれている」ような単連結コンパクトなリーマン多様体は、位相的に球と同じ形をしていることを示す球面定理のような結果があります。
断面曲率、半径、体積に制限があるようなコンパクトなリーマン多様体は、微分同相を除いて有限個しか存在しないことを示すチーガーの有限性定理は、多様体の分類問題に示唆を与えます。
非コンパクトながら曲率が非負であるような多様体には、「ソウル」と呼ばれるコンパクトな部分多様体が存在し、元の多様体がそのソウルの周りの構造を持つことを示すチーガー・グロモルのソウル定理があります。特に、曲率が厳密に正であればユークリッド空間と同相になるという結果や、後にグリゴリー・ペレルマンによって証明されたソウル予想などが知られています。

リッチ曲率に関する定理：
多様体の体積の増加率に関連するリッチ曲率が正であるようなコンパクト多様体は、その基本群が有限であるというメイヤーの定理は、リッチ曲率が多様体のトポロジーに強い制約を与えることを示します。
非負のリッチ曲率を持つ多様体の体積に関するビショップ・グロモフの不等式は、リッチ曲率がユークリッド空間からの体積の逸脱をどのように制限するかを示します。
正のリッチ曲率を持つ多様体のクラスが、ある距離空間の意味で「コンパクト」であることを示すグロモフのコンパクト性定理は、研究対象となる多様体の集合を絞り込む上で重要です。

* スカラー曲率に関する補足：最も単純な曲率の指標であるスカラー曲率に関しても、例えばn次元トーラスが正のスカラー曲率を持つリーマン計量を持たないといった結果などが知られています。

これらの定理群は、曲率という局所的な性質が、多様体のコンパクト性、体積、トポロジー（基本群やベッチ数）、さらには構造（直積分解や埋め込み可能性）といった大域的な性質に深く結びついていることを明らかにしています。

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