基底 (線型代数学)

線型代数学における基底

線型代数学において、基底とは線型空間を特徴づける重要な概念です。簡単に言うと、線型空間の任意のベクトルを、基底ベクトルの線型結合として一意的に表現できる、線型独立なベクトル集合のことです。

基底の定義

体F上の線型空間Vの部分集合Bが基底であるとは、以下の2つの条件を満たすことをいいます。

1. 線型独立性: Bに属するベクトルの任意の線型結合が零ベクトルとなる場合、その係数は全てゼロでなければなりません。これは、基底ベクトルが互いに独立していることを意味します。
2. 全域性: Vの任意のベクトルが、Bに属するベクトルの線型結合として表現できます。これは、基底ベクトルが線型空間V全体を生成することを意味します。

これらの条件を満たすベクトルの個数を、線型空間Vの次元といいます。次元は基底の取り方によらず一定です。次元が有限である線型空間を有限次元線型空間、そうでないものを無限次元線型空間といいます。無限次元線型空間では、基底は無限集合となります。この場合も、任意の有限個の基底ベクトルは線型独立であり、任意のベクトルは有限個の基底ベクトルの線型結合で表すことができます。

基底の性質

基底は、以下の性質も持ちます。

基底は線型空間の極小生成系です。つまり、基底から任意のベクトルを除くと、もはや線型空間全体を生成できなくなります。
基底は線型空間の極大線型独立系です。つまり、基底に任意のベクトルを加えると、線型独立性が失われます。
線型空間の任意のベクトルは、基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができます。このときの係数を、その基底に関する座標といいます。
すべての基底は同じ濃度を持ち、その濃度が線型空間の次元になります。

基底の存在定理

零ベクトルのみからなる空間を除く、すべての有限次元ベクトル空間には基底が存在します。これは基底の存在定理と呼ばれます。無限次元ベクトル空間についても、選択公理を用いることで基底の存在を示すことができます。

基底の延長定理

線型空間Vの一次独立な部分集合Sは、常にVの基底に拡張することができます。この定理は、一次独立なベクトル集合を、線型空間全体を生成するまで、ベクトルを追加していくことで基底を構成できることを意味しています。

生成系内の基底延長

線型空間Vの生成系Tとその一次独立な部分集合Sに対して、Sを含むTの部分集合で、Vの基底となるものが存在します。この定理は、生成系の中から、線型独立な部分集合を選び出し、それを基底に拡張できることを意味しています。

順序基底と座標系

基底ベクトルの順序を考慮した基底を順序基底といいます。順序基底を用いることで、線型空間のベクトルを座標で表現することができます。この座標は、基底ベクトルの順序に依存します。

関連概念

無限次元空間では、ハメル基底以外にも、正規直交基底、シャウダー基底、マルクシェヴィチ基底など、様々な種類の基底が定義されます。これらの基底は、無限和を許容することで、無限次元空間全体を生成します。

例

R²: {(1, 0), (0, 1)} は標準基底です。他にも、線型独立な任意の2つのベクトルが基底となります。
Rⁿ: n次単位行列の列ベクトルからなる集合が標準基底です。
P²: {1, x, x²} は次数が高々2の多項式全体のなす線型空間の標準基底です。
R[x]: {1, x, x², ...} は実数係数多項式全体のなす線型空間の基底です。

まとめ

基底は、線型空間を理解する上で最も基本的な概念の一つです。線型独立性と全域性を満たすベクトル集合である基底は、線型空間の次元を決定し、ベクトルを座標で表現することを可能にします。有限次元空間だけでなく、無限次元空間においても、様々な種類の基底が定義され、それぞれの空間の性質を反映しています。

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