外接三角形

外接三角形（Tangential Triangle）

定義と構成

幾何学における外接三角形は、接線三角形とも呼ばれ、特定の条件下で定義される興味深い三角形です。この三角形は、直角三角形ではない任意の三角形に対して構成されます。構成方法は比較的シンプルで、まず元の三角形の外接円を考えます。次に、この外接円の各頂点において円に接する直線を引きます。これら3本の接線は必ず互いに交わり、新たな三角形、すなわち外接三角形を形成します。

ただし、直角三角形の場合には外接三角形を定義することができません。これは、直角に対応する頂点を通る接線が、他の2つの頂点を通る接線と平行になってしまい、三角形を構成するための3つの交点が得られないためです。したがって、外接三角形の概念は、鋭角三角形および鈍角三角形といった非直角三角形に限定されます。

元の三角形との関係性

外接三角形は、元の三角形と多くの点で深い関係を持っています。特に顕著な性質の一つとして、外接三角形が元の三角形と配景（perspective）の関係にあることが挙げられます。配景とは、二つの図形が、ある点（配景の中心）から見ても、あるいはある直線（配景の軸）上に並ぶように見ても、互いの対応する頂点や辺が一直線上に並ぶような位置関係にあることを指します。外接三角形と元の三角形の場合、この配景の中心は元の三角形の類似重心であり、配景の軸はルモワーヌ軸として知られています。これは、元の三角形の類似重心の反チェバ三角形が外接三角形と一致することを意味します。

また、外接三角形は元の三角形の垂足三角形と相似の関係にあります。垂足三角形は、元の三角形の各頂点から対辺またはその延長線上に下ろした垂線の足（交点）を結んでできる三角形です。外接三角形と垂足三角形の相似の中心（配景の中心でもある）は、元の三角形のオイラー線上に位置する特別な点です（図心、外心、垂心、九点円中心などが乗る直線）。この相似の中心は、三角形の中心点X25として知られています。外接三角形の外心（外接円の中心）である点X26もまた、元の三角形のオイラー線上に存在します。

辺の性質

外接三角形の各辺は、「exsymmedian」とも呼ばれる特別な性質を持つ直線です。具体的には、外接三角形の2つの辺（exsymmedian）が交わる点は、その2辺に含まれない元の三角形の頂点を通る類似中線と交わる、という性質があります。類似中線は、中線に対して角の二等分線で反転させた直線として定義される、元の三角形の重要な性質を持つ直線です。

他の図形との関係

外接三角形は、ジェルゴンヌ三角形とも興味深い関係性を持っています。ジェルゴンヌ三角形は、元の三角形の各頂点から対辺への接点（内接円との）を結んでできる三角形ですが、外接三角形と元の三角形の関係は、元の三角形とジェルゴンヌ三角形の関係と等価である、という双対性のような性質が見られます。

さらに、外接三角形は元の三角形の外心の反垂足三角形に一致します。元の三角形の外心を通り、各辺に平行な線を引いてできる三角形の外接円が、元の三角形の外接円と一致するといった関連性も指摘されることがあります。

関連する円

外接三角形の外接円、元の三角形の外接円、そして元の三角形の九点円（垂心、三辺の中点、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点を通る円）は、円束を成すことが知られています。円束とは、共通の根軸を持つ円の集まりのことです。この性質は、これらの重要な円が幾何学的に密接に関連していることを示しています。

関連概念

外接三角形の概念は、円に外接するより一般的な多角形である円外接多角形（内接円を持つ多角形）や、三角形に関連する特定の点の研究（例: エクセター点など）と関連があります。

このように、外接三角形は元の三角形の幾何学的構造と深く結びつき、様々な興味深い性質や他の図形との関連性を示す、三角形幾何学における重要な概念の一つです。

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