エクセター点

エクセター点（Exeter point）

幾何学の世界において、エクセター点は、三角形が持つ数多くの「中心」と呼ばれる特別な点の一つとして知られています。特に、クラーク・キンバーリング博士によって編纂された「Encyclopedia of Triangle Centers」では、X(22)という識別番号が与えられています。この点は、1986年にフィリップス・エクセター・アカデミーの研究によって発見された比較的新しい中心です。

定義

エクセター点は、三角形の重心に関連する特定の図形と、もとの三角形の外接円の接線が作る図形という、二つの異なる構成要素から導き出されます。

具体的には、まず基準となる三角形△ABCを考えます。この三角形の各頂点A, B, Cから対辺の中点へ引いた線分を「中線」と呼びます。これらの線分をさらに、それぞれの頂点側へ伸ばしていき、三角形の外接円と再び交わる点を考えます。頂点Aからの中線が外接円とA以外の点で交わる点をA'、同様にBからの中線が外接円とB以外の点で交わる点をB'、Cからの中線が外接円とC以外の点で交わる点をC'とします。

次に、この外接円の各頂点A, B, Cにおける接線を引きます。これらの三本の接線は互いに交わり、新たな三角形△DEFを形成します。ここで、例えば頂点Dは、頂点AとBにおける接線の交点ではありません。むしろ、頂点Aにおける接線と、他の二本の接線が交わる点（例えば、BとCにおける接線の交点、CとAにおける接点）のうち、Aに対応するような形で定まる頂点です（入力の「Dは、Aの接線で構成される辺の対頂点」という部分を解釈し、接線三角形の定義として一般的な外接三角形を採用）。つまり、△DEFは外接円の接線が作る「外接三角形」です。

ここで、最初のステップで得られた点A', B', C'と、接線が作る三角形の頂点D, E, Fを結んだ三本の直線DA', EB', FC'を考えます。驚くべきことに、これらの三直線は一点で交わります。この特別な交点こそが、エクセター点なのです。

この定義は、「重心の擬調和三角形」と「外接三角形」の「配景の中心」であるという、より抽象的な幾何学の言葉でも表現されます。これは、二つの図形集合（ここでは、重心に関連して作られる点A', B', C'と、外接三角形の頂点D, E, F）の間にある特定の対応関係（配景）の中心としてエクセター点が位置づけられることを意味しています。

三線座標

三角形の辺長をそれぞれa, b, cとしたとき、エクセター点の三線座標は以下の式で表されます。

$a(b^4+c^4-a^4) : b(c^4+a^4-b^4) : c(a^4+b^4-c^4)$

この座標は、エクセター点が辺の長さの4乗という高次の項を含む複雑な点であることを示しています。

性質

エクセター点の最も重要な幾何学的性質の一つは、オイラー線上にあるという点です。オイラー線とは、三角形の重心、外心、垂心、九点円の中心といった、古典的な幾何学における最も基本的な中心の多くが乗っている特別な直線のことです。

エクセター点がオイラー線上にあるということは、エクセター点がこれらの有名な中心点、例えば重心、外心、垂心、そして九点円の中心、さらにはド・ロンシャン点などと、常に同じ一つの直線上に並んでいることを意味します。この事実は、エクセター点が単独で存在する孤立した点ではなく、三角形が持つ根源的な構造、特に重心や外心といった基本的な要素と深く結びついていることを示しています。

また、定義の背景にある「配景の中心」という観点からは、点Pが三角形の重心である場合に、接触三角形（内接円の接点が作る三角形）に関する点Pの擬調和三角形と基準三角形（もとの三角形）が配景の関係にあり、その中心がエクセター点となるという性質も知られています。

エクセター点は、比較的最近発見された点でありながら、その美しい幾何学的構成や、オイラー線上の重要な位置を占めることから、三角形幾何学の研究において興味深い対象となっています。

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