類似中線

類似中線（Symmedian）

類似中線とは、任意の三角形において定義される重要な３本の直線のことです。具体的には、三角形の各頂点から引かれる中線に対し、その頂点の角の二等分線を対称軸として、線対称な位置にある直線を指します。このような関係にある２本の直線は「等角共役」であると言われます。したがって、類似中線は対応する中線と等角共役な直線と言い換えることができます。

この３本の類似中線は、必ず一点で交わります。この特別な交点は、三角形の重心に対して等角共役な点であり、「類似重心（Symmedian Point）」あるいは「ルモワーヌ点（Lemoine Point）」と呼ばれています。ドイツ語圏では「グリーブ点（Grebe Point）」と呼ばれることもあります。

歴史

類似中線の存在とその交点に関する考察は、19世紀から数学者たちの間で進められました。スイスの数学者サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエが1809年にこの点について言及した記録が残っています。その後、ドイツのエルンスト・ヴィルヘルム・グリーブが1847年に類似中線に関する論文を発表しました。そして、フランスのエミール・ルモワーヌが1873年に、３本の類似中線が一点で交わることを厳密に証明したことで、この概念が広く認知されるようになりました。

主な性質

類似中線は、三角形の様々な性質と関連が深いです。いくつかの重要な性質を挙げます。

三角形の外接円に注目します。円ABCにおいて、点Bと点Cにおける接線の交点をXとすると、直線AXは三角形ABCの頂点Aにおける類似中線となります。同様に定義される点Y, ZについてもBY, CZは類似中線であり、三角形XYZ（接線三角形）と元の三角形ABCは類似重心を中心として配景的（perspectively）な位置関係にあります。
三角形ABCの頂点Aからの類似中線が辺BCと交わる点S（Aとは異なる点）について、辺BSとSCの長さの比は、辺ABとACの長さの二乗の比に等しくなります。すなわち、$AB^2 : AC^2 = BS : SC$ という関係が成り立ちます。
頂点Aからの類似中線が三角形ABCの外接円と再び交わる点K（Aとは異なる点）を考えます。辺BCの中点をMとすると、三角形ABKと三角形AMCは相似な図形となります（向きも同じ）。また、直線KAは三角形KBCにおいて頂点Kからの類似中線になります。さらに、四角形ABKCは調和四角形であり、$AB imes KC = BK imes CA$ の関係を満たします。

類似重心について

３本の類似中線の交点である類似重心（ルモワーヌ点）は、三角形の中心の一つとして特別な座標や性質を持ちます。

三角形の３辺の長さをそれぞれa, b, cとしたとき、類似重心の三線座標は $a : b : c$ で表されます。また、重心座標は $a^2 : b^2 : c^2$ となります。
三角形の内接円が各辺と接する点をD, E, Fとしたときにできる三角形DEFを考えます。この三角形DEFの類似重心は、元の三角形ABCにおけるジェルゴンヌ点と一致するという興味深い性質があります。
類似重心を通り、各辺に平行な直線を引くと、辺との交点が全部で6つできます。これらの6つの交点は同一円周上にあり、この円を第一ルモワーヌ円と呼びます。第一ルモワーヌ円の中心は、ブロカール円の中心となります。
同様に、類似重心を通り、各辺に逆平行な直線を引いた場合も、辺との交点が6つ生まれます。これらの6つの交点もまた同一円周上にあり、この円を第二ルモワーヌ円と呼びます。第二ルモワーヌ円の中心は、類似重心自身となります。

関連する幾何学的対象

類似中線や類似重心は、他の様々な幾何学的な対象とも深く関連しています。

三角形には、ブロカール点と呼ばれる２つの特別な点があります。これら２つのブロカール点を焦点とし、三角形の３辺に接する楕円をブロカール楕円と呼びます。このブロカール楕円が三角形の辺と接する点は、その辺と類似中線との交点に一致します。
* 三角形の重心と類似重心（ルモワーヌ点）を焦点とする内接円錐曲線は、ルモワーヌ内接楕円と呼ばれます。また、ルモワーヌ内接楕円の極三角形（Polar triangle）をルモワーヌ三角形といい、その外接円を第三ルモワーヌ円と呼びます。

類似中線とそれに付随する類似重心は、三角形の幾何学において重要な概念であり、多くの美しい性質や他の幾何学的図形との関係性を示しています。

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