多元数

多元数（超複素数）とは？

多元数、あるいは超複素数とは、実数体上の有限次元単位的多元環の元を指す歴史的な用語です。19世紀後半、実数や複素数を拡張した数体系として、四元数、双複素数、余四元数、双四元数、八元数などが確立されました。これらの数体系を包括的に説明し分類するために「多元数」という概念が生まれました。多元数の研究は、現代的な群の表現論の基礎を築く上で重要な役割を果たしました。

多元数の歴史

多元数の研究は1872年、ベンジャミン・パースによる『結合線型環』の出版から始まりました。彼の息子であるチャールズ・サンダース・パースもこの研究を引き継ぎました。彼らは、多元数の分類に有効な冪零元と冪等元を特定しました。

ケーリー＝ディクソン構成は、対合を用いて実数から複素数、四元数、八元数を生成する手法です。しかし、フルヴィッツとフロベニウスは、この様な超複素数系の拡張に限界があることを示す定理を証明しました（フルヴィッツの定理、フロベニウスの定理を参照）。

1958年、J・フランク・アダムズは位相的な手法を用いて、有限次元実多元体が実数体、複素数体、四元数体、八元体の4種類しかないことを証明しました。

行列論は多元数の体系を理解する上で重要な役割を果たしました。行列を用いることで、新たな多元数が生み出され、様々な多元数を説明する枠組みを提供しました。1907年、ジョセフ・ウェダーバーンは、結合的な超複素数系は必ず行列環、または行列環の直和として表現できることを示しました（アルティン・ウェダーバーンの定理）。これ以降、「結合多元環」という用語が用いられるようになりました。ただし、八元数や双曲四元数のように非結合的な体系も存在することに注意が必要です。

超複素数系は、リー群とその表現論を学ぶための重要なステップです。エミー・ネーターは1929年、「超複素数量および表現論」を著し、この関連性を示しました。

多元数の定義

Кантор & Солодовников (1973)によると、多元数（超複素数）は、実数体R上有限次元の単位的分配多元環（結合的である必要はない）の元として定義されます。n次元の多元数xは、実数係数a0, …, an−1を用いて、基底{1, i1, …, in−1}の一次結合として表現されます。

x = a01 + a1i1 + … + an−1in−1

慣習として、各基底ikについて、ik2が−1, 0, 1のいずれかになるようにします。

多元数の例

複素数: 2次元。基底{1, i} (i2 = -1)
分解型複素数: 2次元。基底{1, j} (j2 = 1)
四元数: 4次元。基底{1, i, j, k} (i2 = j2 = k2 = -1, ij = k, ji = -k, ...)
双複素数: 4次元。複素数の直積
八元数: 8次元。非結合的
クリフォード代数: 二次形式を備えた線型空間上に構成される単位的結合多元環。様々な次元と性質を持つ多元環を含む。
* ケーリー＝ディクソン代数: 複素数を拡張する別のアプローチ。高次元になるにつれて非結合的、零因子を含むようになる。

多元数の定理

同型を除いて、実数体上二次元の単位的多元環は、通常の複素数、分解型複素数、二重数の3種類しかありません。

クリフォード代数

クリフォード代数は、二次形式を備えた線型空間から構成される単位的結合多元環です。この代数の元は多重ベクトルとして解釈でき、物理学（古典力学、量子力学、電磁気学、相対性理論など）における回転、位相、スピンなどの問題に有効です。

ケーリー＝ディクソン構成

ケーリー＝ディクソン構成は、複素数を拡張し、四元数、八元数などを生成する手法ですが、高次元になると非結合的になり、零因子を含むようになります。この構成を修正することで、分解型多元環を作ることができます。

テンソル積による構成

二つの多元環のテンソル積は再び多元環となるため、様々な超複素数系を生成できます。例えば、複素数体と他の多元環のテンソル積をとることで、双複素数、双四元数、複素八元数などが得られます。

まとめ

多元数は、実数や複素数を拡張した数体系であり、その研究は現代代数学の発展に大きく貢献しました。クリフォード代数やケーリー＝ディクソン構成などの手法によって、様々な多元環が構成され、物理学などに応用されています。しかしながら、高次元になると非結合性や零因子といった性質が現れるため、その扱いは複雑になります。

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