母数

母数

「母数」（ぼすう、英語：parameter または modulus）は、分野によって異なる意味で用いられる言葉です。主に確率論や統計学で確率分布を特徴づける定数を指すほか、数学の特定の分野でも使われます。

確率論および統計学における母数

確率論や統計学の世界では、「母数」は確率変数がある特定の確率分布に従う際に、その分布の形や性質を一意に定める定数を意味します。これは英語の「parameter」に対応します。

確率論での役割

確率論において、母数は確率分布を規定する数値として不可欠です。

例えば、[統計]]学で最もよく使われる正規分布は、平均]と分散($\sigma^2$)という二つの母数によってその形状が完全に決まります。これらの母数の値が変われば、[[正規分布の中心の位置や散らばり具合も変化します。

また、一定期間内に稀な事象が発生する回数などをモデル化する際に用いられるポアソン分布は、平均発生回数を表す$\lambda$（ラムダ）という一つの母数によって特徴づけられます。その確率質量関数は以下の式で与えられます。

$$
f(k; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
$$

ここで、$k$は観測される事象の発生回数を表す確率変数、$e$はネイピア数です。母数$\lambda$は、この分布に従う事象が平均して何回観測されるかを示しています。

統計学での役割

統計学における母数の定義は確率論と基本的に同じですが、現実世界の観察データ（標本）から、そのデータが得られた母集団の母数について推測したり（統計的推定）、母数に関する仮説の真偽を検証したりする（仮説検定）側面に重点が置かれます。

統計的推論には、母数に対する考え方の違いから主に二つのアプローチがあります。

頻度主義統計学: 母数は未知ではあるものの、固定されたある一つの値を持つ定数であるとみなします。
ベイズ主義統計学: 母数自体を固有の確率分布を持つ確率変数と考え、その不確実性を確率分布によって表現します。

また、統計学的な推論を行う際に、対象となる母集団の確率分布が正規分布などの特定の形に従うと仮定するかしないかによって、「パラメトリック推論」と「ノンパラメトリック推論」に分けられます。母数を仮定しないのがノンパラメトリック、仮定するのがパラメトリックです。

標本から計算される数値である統計量は、母集団の母数の推定量として非常に重要な役割を果たします。例えば、標本の平均値である「標本平均」($\overline{X}$)は、母集団の真の平均を示す母数($\mu$)を推定するために用いられます。

数学における母数

数学の分野では、「母数」（英語：modulus）が異なる意味で使われることがあります。例えば、楕円関数論などにおいて、関数を特徴づける定数を指す場合があります。

日本工業規格（JIS）における定義

日本工業規格（JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号）では、母数について二つの異なる説明を提示しています。

1. 狭義の定義: ある確率分布（例えば、$f(x; \theta_1, \theta_2, \dots, \theta_p)$ の族）において、その値を具体的に定めることで分布が一意に確定する定数（$\theta_1, \dots, \theta_p$）を指します。正規分布における平均$\mu$と標準偏差$\sigma$、ポアソン分布における平均$\lambda$などがこれにあたります。
2. 広義の定義: 確率分布によって計算される数値全般を指す場合があります。この意味では、確率分布の平均、分散、歪度（ゆがみ）、尖度（とがり）といったモーメントも広義の母数とみなすことができます。

JIS規格では、母数は標本から計算される同じ名称の「統計量」と区別するために用いられる用語であることも明確にされています。

このように、母数は統計分析の基盤をなす概念であり、その理解はデータから母集団の性質を解き明かす上で不可欠です。

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