対称テンソル

対称テンソルの概要

対称テンソルとは、特定の次数 r に対して、任意の r 次の置換作用に対して不変であるテンソルのことを指します。これは、テンソルを多重線型写像 T と見なした場合、任意の入力ベクトルの順序を変えても、出力が変わらないという性質を持っています。

数学的には、テンソル T の引数となるベクトルを v_1, v_2, …, v_r とした場合に、次のような条件が成り立ちます。

$$
T(v_1, v_2, ext{…}, v_r) = T(v_{ au(1)}, v_{ au(2)}, ext{…}, v_{ au(r)})
$$

ここで $ au$ は任意の置換です。この性質により、対称テンソルはその成分においても同様に不変性が成り立ち、座標を使って表すならば、

$$
T_{i_1 i_2 ext{…} i_r} = T_{i_{ au(1)} i_{ au(2)} ext{…} i_{ au(r)}}
$$

という形で表されます。これにより、有限次元ベクトル空間 V 上の r 次対称テンソル全体の成す空間が、V 上の r 次の斉次多項式の双対に自然に同型となることが示されています。

対称テンソルの定義

ベクトル空間 V において、k 次のテンソル T が対称であるとは、以下の条件を満たすことを意味します。

$$
au_{ au} T = T ext{（全ての置換に対して）}
$$

これに基づいて、

$$
T = rac{1}{k!} imes ext{和（置換下のテンソル T）}
$$

と記述でき、この和において今一度対称化が行われます。ここで、基底を取り入れることで、T の成分 T_{i_1 i_2 ext{…} i_k} がその掛け算の順序に依存せず同じ値を持つことがわかります。

したがって、k 次対称テンソルに関する空間は Sk(V) や Symk(V) などで表され、これは自身がベクトル空間を構成し、その次元は次のように与えられます。

$$
ext{dim} ext{Sym}^k(V) = {N + k - 1 race k}
$$

対称テンソルの例

多くの対称テンソルは、物理現象や工学的課題の中で見られます。例えば、計量テンソルやアインシュタインテンソル、リッチテンソルなどがその一例です。これらは応力、歪み、伝導性の異方性といった多種多様な物性を表現するのに用いられています。また、拡散MRIなどの医療技術においても、対称テンソルは脳や体の部位の拡散状態の記述によく使用されます。

テンソルの対称成分

k 次テンソル T の対称成分は、平均化の手法により求めることができ、これは一般に次のように求められます。

$$
ext{Sym} T = rac{1}{k!} imes ext{和（全置換下の T）}
$$

この定義に従えば、T の対称成分がどのように組み合わされるかを示すことができます。これはしばしば対称的な添字を扱う際の計算の助けとなります。

対称テンソルの分解

二次の実対称テンソルでは、任意のテンソル T ∈ Sym2(V) に対し、特定の整数 r と非ゼロ単位ベクトル v_1, ext{…}, v_r が存在します。これにより、次の形で表現できます。

$$
T = ext{和}( ext{λ}_i imes ext{v}_i ext{⨁} ext{v}_i)
$$

この構成はテンソルの物理的意味を解釈する上でも興味深く、特に慣性テンソルなどはこの性質が重要になります。

まとめ

対称テンソルは、数学、特に物理学や工学の様々な分野で幅広く用いられる基本的かつ重要な数学的構造です。その特性を理解することで、より複雑なシステムの解析や表現が可能となります。

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