加群の直和

直和の概要

直和とは、抽象代数学において、複数の加群を一つに統合し、新しい大きな加群を形成する構造を意味します。これは、加群の特性を保持しつつ、それらを「不必要な」制約なしに含む最小の加群として定義されます。直和の概念は双対的なものであり、その対概念には直積があります。

この構成はベクトル空間やアーベル群といった具体例において、多く見られます。さらに、この考え方はバナッハ空間やヒルベルト空間にまで一般化されます。

ベクトル空間における直和

まず、2つのベクトル空間 V および W を考えます。これらは体 K 上のベクトル空間です。このとき、彼らのカルテジアン積 V × W に対し、次のように成分ごとの演算を定義します。

• - 和に対して：

(v1, w1) + (v2, w2) = (v1 + v2, w1 + w2)

• - スカラー倍に対して：

α(v, w) = (αv, αw)

これにより得られるベクトル空間は V と W の直和と呼ばれ、通常は V ⊕ W と表記されます。ここで、V ⊕ W の部分空間として V × {0} は V と同型であり、また {0} × W は W と同一視されます。この性質から、V ⊕ W の元は唯一の方法で V と W の元の和として表現できます。

また、次元についても、V ⊕ W の次元は V と W の次元の和に等しいと特定できます。

アーベル群における直和

次に、アーベル群 G と H に対する構成を考えます。これらのグループ G × H の直和は、直積と同様、成分ごとの演算を定義することによって構成されます。具体的には、以下のような操作が可能です。

• - 和に対して：

(g1, h1) + (g2, h2) = (g1 + g2, h1 + h2)

• - 整数 n に対して：

n(g, h) = (ng, nh)

この得られたアーベル群は G と H の直和と呼ばれ、通常は G ⊕ H と表記されます。この場合も、各部分群はそれぞれ G と H に同型であり、それに伴う元の表現も一意です。G ⊕ H のランクは、G と H のランクの和に等しいです。

加群の任意の族に対する直和

加群の直和の構成は、任意の左 R-加群 {Mi : i ∈ I} の族にまで一般化できます。ここで、この直和はすべての列 (αi) の集合であり、有限個を除くすべての添え字 i に対して、αi ∈ Mi と定義されます。このように定義された直和は成分ごとの和とスカラー倍を持つ加群の構造を引き継ぎます。

直和の性質

直和は加群の直積の部分加群であり、特に添え字集合 I が有限である場合は、直和と直積は等価となります。さらに、直和の元は有限の元の和として表現可能であり、これにより次元やランクに対する直和の特徴が維持されます。このように、直和は加群における非常に重要な構成であり、様々な代数的性質を表現する基盤となるのです。

付加的な構造をもった直和

加群に付加的な構造（例えばノルムや内積）がある場合、直和もその構造を持つことができます。バナッハ空間やヒルベルト空間において、このような直和の概念が特に重要です。ここでは、ベクトル空間の直和と同様、適切な意味でのノルムが定義され、さらなる分析が可能になります。

このように、直和は加群の研究において多くの応用と重要性を持ち、異なる数学的対象への関連も示しています。特に、関連項目として双積や直既約加群などが挙げられます。

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