小平消滅定理

小平消滅定理 (Kodaira vanishing theorem)

数学の、特に複素多様体論および複素代数幾何学の分野において、小平消滅定理は極めて重要な位置を占める基本的な結果です。この定理は、ある特定の条件下で、層係数コホモロジー群のうち高次のものがゼロになる、すなわち「消滅する」ことを主張します。コホモロジー群が消滅するということは、その空間や束に関する多くの情報が、比較的扱いやすい0次のコホモロジー群（大域切断全体の空間）に集約されることを意味します。特に、0次コホモロジー群の次元、つまり一次独立な大域切断の数は、リーマン・ロッホの定理などを用いて具体的に計算することが可能です。

複素解析的な設定

小平邦彦によって最初に得られた複素解析的な結果は、以下のように述べられます。

コンパクトな $n$ 次元のケーラー多様体 $M$ を考えます。また、$M$ 上の正な正則直線束 $L$ と、その標準束 $K_M$ を考えます。このとき、任意の正の整数 $q > 0$ に対して、次のコホモロジー群はゼロとなります。

$$ H^q(M, K_M \otimes L) = 0 $$

ここで $K_M \otimes L$ は直線束のテンソル積を表します。この結果は、有名なセール双対性を用いることで、別の形で表現することもできます。すなわち、任意の整数 $q < n$ に対して、次のコホモロジー群もゼロになります。

$$ H^q(M, L^{\otimes -1}) = 0 $$

この小平の定理をさらに一般化したものが、小平・中野の消滅定理です。これを述べるために、まず記号を導入します。$L$ に値を持つ $M$ 上の正則 $(r,0)$-形式の層を $\Omega^r(L)$ で表します。これは、特に $r=n$ の場合に $K_M \otimes L$ と同型になります（$K_M \otimes L \cong \Omega^n(L)$）。この記号を用いると、小平・中野の消滅定理は次のように主張します。任意の整数 $q, r$ に対して、$q + r > n$ であるならば、次のコホモロジー群はゼロとなります。

$$ H^q(M, \Omega^r(L)) = 0 $$

代数多様体における設定

小平の消滅定理は、ケーラー計量のような解析的な手法を用いずに、純粋に代数幾何学の言葉でも定式化することが可能です。複素解析における「正な直線束」という条件は、代数幾何学では対応する可逆層が「豊富」であるという条件に置き換えられます。豊富な可逆層とは、概ね射影空間への埋め込みを与えられるような層と考えることができます。

標数 $0$ の体 $k$ 上で定義された、次元が $d$ の滑らかな射影的 $k$-スキーム $X$ と、その上の豊富な可逆層 $L$ を考えます。また、相対的な代数的微分形式の層を $\Omega_{X/k}^p$ で表します。このとき、次の消滅定理が成り立ちます。

1. 任意の整数 $p, q$ に対して、$p + q > d$ ならば、$ H^q(X, L \otimes \Omega_{X/k}^p) = 0$。
2. 任意の整数 $p, q$ に対して、$p + q < d$ ならば、$ H^q(X, L^{\otimes -1} \otimes \Omega_{X/k}^p) = 0$。

ただし、正標数の体上では、この定理は必ずしも成立しないことが、レイノーによって反例（レイノー曲面）と共に示されています。

この代数的な消滅定理の証明には歴史的な進展がありました。長らく、標数 $0$ の場合の証明は、複素解析の手法と代数幾何学を結びつけるGAGAの比較定理に依存していました。しかし1987年にピエール・ルネ・ドリーニュとリュック・イリュージーが、純粋に代数的な手法のみによる証明を初めて提供しました。彼らの証明の核心は、代数的ド・ラムコホモロジーにおけるホッジ・ド・ラムスペクトル系列が次数1で退化するという事実に基づいています。これは、正標数の結果をある特別な場合にリフトするという巧妙な手法を用いて示されました。

結果と応用

小平消滅定理は、他の多くの重要な定理を導出する基礎となっています。歴史的には、有名な小平埋め込み定理は、この消滅定理を用いることで導かれました。また、セール双対性と組み合わせることで、標準束に関連する層コホモロジー群が消滅するという結果は、多様体の分類理論（例: エンリケス-小平の分類）において非常に有効な手段となります。

関連する消滅定理として、川又・ヴィーベックの消滅定理や、マンフォードの消滅定理などがあります。

参考文献

Deligne, P., Illusie, L. (1987). Relèvements modulo p2 et décomposition du complexe de de Rham. Inventiones Mathematicae, 89(2), 247–270.
Esnault, H., Viehweg, E. (1992). Lectures on vanishing theorems. Birkhäuser Verlag.
Griffiths, P., Harris, J. Principles of Algebraic Geometry.
Raynaud, M. (1978). Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p>0. In C. P. Ramanujam---a tribute (pp. 273–278). Springer.

もう一度検索