リーマン・ロッホの定理

リーマン・ロッホの定理

リーマン・ロッホの定理は、複素解析学および代数幾何学における極めて重要な定理の一つです。これは、コンパクトなリーマン面や完備な非特異代数曲線といった図形の上で定義される有理型関数の性質を、その図形が持つ幾何学的・位相的な特徴と結びつけます。具体的には、特定の零点や極に関する条件を満たす関数の存在空間の次元を計算する際に、強力な手段を提供します。

この定理の歴史は、19世紀半ばにベルンハルト・リーマンが証明した「リーマンの不等式」に始まります。その後、リーマンの学生であったグスタフ・ロッホがこれをさらに推し進め、定理を今日知られる決定的な形式へと完成させました。その後、この定理は代数曲線にとどまらず、より高次元の代数多様体へと一般化され、現代数学の多くの分野に影響を与えています。

定理の背景にある概念

定理を理解するためには、いくつかの基本的な概念を知る必要があります。

リーマン面: 局所的には複素数平面と同じ構造を持つ図形であり、異なる局所的な領域間をつなぐ写像が正則であるという性質を持ちます。コンパクトなリーマン面は「閉リーマン面」と呼ばれます。
種数 (g): 閉リーマン面の最も基本的な位相不変量の一つで、くだけた言い方では「ハンドルの数」と表現されます。厳密には、1次特異ホモロジー群の次元の半分として定義され、リーマン面を同相類によって分類します。また、ホッジ理論によれば、正則1形式がなす空間の次元とも一致し、リーマン面の複素解析的な情報を反映しています。
因子 (Divisor): リーマン面上の点に整数係数を付けた有限形式和です。例えば、点Pに係数3を、点Qに係数-2をつけた因子は 3P - 2Q のように表されます。有理型関数 f に対して、その零点に正の位数、極に負の位数を対応させることで、関数に付随する因子 (f) を定義できます。このような因子を「主因子」と呼び、2つの因子の差が主因子であるとき、それらは「線型同値」であると言います。
因子の次数 (deg): 因子のすべての係数の総和です。主因子の次数は常に0であることが知られており、因子の次数は線型同値類のみに依存する不変量です。
標準因子 (K): 大域的な有理型1形式に付随する因子のことです。線型同値を除いて一意に定まります。
空間 L(D) とその次元 l(D): 因子 D が与えられたとき、L(D) は、「有理型関数 f であって、(f) + D が有効因子（係数がすべて非負）となるようなもの全体」に零関数を加えた集合です。これは複素数体上のベクトル空間となり、その次元を l(D) と表します。この l(D) が、定理が計算しようとする主要な量です。因子の指定によって、関数の零点や極に課される条件が定まります。

定理の主張

種数 g の閉リーマン面 X 上の任意の因子 D に対し、以下の関係式が成り立ちます。

l(D) - l(K - D) = deg(D) + 1 - g

ここで l(D) は上述のベクトル空間の次元、K は標準因子、deg(D) は因子 D の次数、g はリーマン面 X の種数です。

この公式において、l(D) は通常求めたい量であり、l(K - D) は「補正項」あるいは「特殊指数」と考えられます。l(K - D)は常に非負であるため、この定理からは「リーマンの不等式」と呼ばれる l(D) ≥ deg(D) + 1 - g という評価が得られます。ロッホの貢献は、この不等式の両辺の差を与える補正項 l(K - D) を明示した点にあります。

特に、因子 D の次数 deg(D) が 2g - 1 以上である場合、補正項 l(K - D) は 0 となるため、定理は l(D) = deg(D) + 1 - g という簡単な形になります。

具体例

一点 P での極の位数に関する条件を満たす関数空間の次元 l(nP) (n ≥ 0) の数列を考えることで、定理の性質を見ることができます。

種数 g=0 (リーマン球面): l(nP) の数列は 1, 2, 3, ... となります。これは次数 n + 1 に一致し、リーマン・ロッホの定理の簡単な帰結です。
種数 g=1 (トーラス): l(nP) の数列は 1, 1, 2, 3, 4, 5 ... となります。これは n ≥ 1 で l(nP) = n となることを示しており、種数1の曲線の特徴を表します。
* 種数 g≥2: l(nP) の数列は 1, 1, ..., 1 (g+1個), ... と始まるのが一般的です。しかし、特定の点 P（ヴァイエルシュトラス点と呼ばれる）では、この初期パターンが崩れることがあります。

直線束による定式化

因子と密接に対応する「正則直線束」の概念を用いると、定理は異なるが同値な形で述べられます。直線束 L に対し、その正則切断空間の次元を h^0(X, L) と書くと、定理は以下のように表現されます。

h^0(X, L) - h^0(X, L⁻¹ ⊗ K) = deg(L) + 1 - g

ここで K は標準束です。この定式化において、Lを自明束とすることで、種数gに等しい数の線型独立な正則1形式が存在すること（h^0(X, K) = g）が示されます。

代数曲線への拡張

リーマン・ロッホの定理は、複素解析的な対象であるリーマン面だけでなく、任意の体上の代数幾何的な対象である非特異な完備代数曲線に対しても全く同様に成り立ちます。ここでの種数は、大域的な（代数的）1形式の空間の次元として定義されます。また、特異点を持つ曲線に対しても、算術種数という概念を用いることで、定理が拡張されることが知られています。

証明と応用

代数曲線の場合の定理の証明は、現代的な視点からは層コホモロジーとセール双対性を用いて行うことができます。l(D) や l(K-D) をコホモロジー群の次元と解釈することで、定理がオイラー標数に関する等式と見なせるようになります。閉リーマン面の場合も、代数的な結果から導かれます。

この定理には多くの応用があります。例えば、既約平面代数曲線の特異点の数を計算する公式の導出、曲線の間の写像に関するリーマン・フルヴィッツの公式、あるいは特殊因子の性質を記述するクリフォードの定理などは、リーマン・ロッホの定理の直接的または間接的な帰結です。

さらなる一般化

リーマン・ロッホの定理は、その後の数学において多大な影響を与え、様々な方向へ一般化されました。次元が2以上の代数多様体に対する「曲面のリーマン・ロッホの定理」や、一般の次元への「ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理」、さらには多様体間の射に関する「グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理」などがあります。これらは代数トポロジーの特性類や連接層の理論と深く結びついており、現代数学の基礎をなす成果となっています。

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