局所可積分函数

局所可積分函数

数学において、局所可積分函数（英: Locally integrable function）は、その定義域内の任意のコンパクト部分集合上でのルベーグ積分が有限であるような函数を指します。これは局所総和可能函数（英: locally summable function）とも呼ばれます。この概念は、函数が定義域全体、特に無限遠点や境界近くでどのように振る舞うかに関わらず、局所的に「悪すぎない」ことを保証するものです。大域的な積分可能性（Lp空間に属すること）よりも緩やかな条件であり、多くの重要な函数空間の基礎を形成します。

定義

ユークリッド空間 ℝn 内の開集合 Ω 上で定義されたルベーグ可測函数 f : Ω → ℂ が局所可積分であることは、主に二つの同値な定義によって与えられます。

1. 通常の定義: Ω の任意のコンパクト部分集合 K に対して、f の絶対値 |f| の K 上でのルベーグ積分が有限であること。数式で表すと、任意のコンパクト集合 K ⊂ Ω に対して `∫_K |f| dx < +∞` となります。このような函数の集合は L1,loc(Ω) と表記されます。
2. 代替的な定義: Ω にコンパクトな台を持つ任意の滑らかなテスト函数 φ ∈ Cc∞(Ω) に対して、函数の積 fφ の絶対値 |fφ| の Ω 全体でのルベーグ積分が有限であること。数式で表すと、任意のテスト函数 φ ∈ Cc∞(Ω) に対して `∫_Ω |fφ| dx < +∞` となります。

これら二つの定義は、互いに同値であることが知られています。代替的な定義は、特に超函数論において、函数をテスト函数と「ペアリング」させて考える際に自然に現れる形です。

局所 p-可積分函数

局所可積分性の概念は、より一般的に 局所 p-可積分函数 へと拡張されます。1 ≤ p ≤ +∞ を満たす定数 p に対して、ルベーグ可測函数 f : Ω → ℂ が任意のコンパクト部分集合 K ⊂ Ω 上で |f|^p のルベーグ積分が有限であるとき、すなわち `∫_K |f|^p dx < +∞` を満たすとき、f は局所 p-可積分であると呼ばれます。これは、f が各コンパクト集合 K 上で Lp(K) 空間に属することを意味します。このような函数の集合は Lp,loc(Ω) と表記されます。局所可積分函数は p=1 の場合の局所 p-可積分函数、すなわち L1,loc(Ω) にあたります。

性質

局所可積分函数の空間 Lp,loc(Ω) は、いくつかの重要な性質を持ちます。

完備距離空間: Lp,loc(Ω) は適切な距離を定義することにより、完備距離空間となります。これは、この空間内で収束列が必ず極限を持つことを意味し、解析学的な議論において非常に有用です。
Lp空間との関係: Ω 上の Lp空間 Lp(Ω) に属する函数（つまり、大域的に積分可能な函数や p 乗可積分な函数）は、すべての p ≥ 1 に対して必ず局所可積分です。これは、任意のコンパクト集合 K における積分が、定義域全体での積分と K の測度を用いて評価できることから従います（p>1の場合はヘルダーの不等式を用いることで証明できます）。したがって、Lp(Ω) ⊂ L1,loc(Ω) という包含関係が成り立ちます。同様に、Lp,loc(Ω) (p > 1) に属する函数も L1,loc(Ω) に属します。
測度との関連: L1,loc(Ω) の函数は、Ω 上の絶対連続測度の密度函数と一対一に対応します。これはラドン＝ニコディムの定理の具体的な表現の一つであり、局所可積分函数が測度論と深く結びついていることを示しています。

例

局所可積分函数の概念を理解するために、いくつかの例を挙げます。

定数函数: 実軸 ℝ 上で定義される定数函数 f(x) = 1 は、任意のコンパクト区間上で積分が有限なので局所可積分です。しかし、ℝ 全体での積分は無限大になるため、大域的には（ルベーグの意味で）可積分ではありません。
連続函数: 一般に、定義域上の連続函数はすべて局所可積分です。これは、連続函数がコンパクト集合上で有界となるためです。
特異点を持つ函数: 函数 f(x) = 1/x は、x=0 を含むどのようなコンパクト区間上でも絶対値の積分が発散するため、x=0 においては局所可積分ではありません。しかし、0 を含まない区間に限定すれば局所可積分です。
* 超函数として扱えない例: 函数 f(x) = e^(1/x) (x≠0), f(0)=0 や f(x) = e^(1/x^2) (x≠0), f(0)=0 は、x=0 の近くで非常に速く増大するため、ℝ 全体で定義された超函数として扱うことができません。これらは、特定の点を除いた領域では局所可積分であるにも関わらず、超函数論の枠組みからは外れる興味深い例です。

応用

局所可積分函数は、現代数学の様々な分野で基本的な役割を果たします。特に、線形微分方程式の解を一般化する超函数（または分布）の理論において、局所可積分函数は最も単純で基本的な超函数のクラスを形成します。また、有界変動函数などの他の函数空間の定義にも現れます。さらに、前述のように、絶対連続測度と密度函数の関係を示すラドン＝ニコディムの定理においても中心的な役割を担います。

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