局所有限測度

局所有限測度とは

局所有限測度（きょくしょゆうげんそくど、英: locally finite measure）とは、特定の測度空間において、すべての点の近くに有限の測度を持つ開近傍が存在する測度の性質を示します。この測度の概念は、特に数学の測度論や確率論において重要です。

定義

測度空間を構成する要素として、ハウスドルフ位相空間 (X, T) と、X 上の σ-代数 Σ（この際、T を含む必要があります）が必要です。これは、すべての開集合が可測集合であり、Σ は X 上のボレル σ-代数と同様の良好さを持つことを意味します。

局所有限測度 μ は、空間 X の各点 p に対して、μ-測度が有限となる近傍 Np が存在する場合に定義されます。すなわち、

$$orall p ext{ in } X, ext{ there exists } N_{p} ext{ in } T ext{ such that } p ext{ in } N_{p} ext{ and } |
u(N_{p})| < + ext{∞}$$

この関係が成り立つとき、μ は局所有限であるとされます。この性質は、空間内の各点が「有限の測度」として扱われることを意味し、局所的な観点での理解を深めるための有用な手段です。

例

局所有限測度の重要な例の一つは、任意の確率測度です。確率測度は常に全体に対して単位測度を与えるため、局所有限の条件を満たします。また、有限測度を持つ測度も同様に局所有限となります。

例えば、ユークリッド空間でのルベーグ測度は局所有限測度の代表例です。ルベーグ測度は、点の近傍に有限の測度を持つため、この条件を満たします。さらに、すべてのラドン測度も局所有限です。

数え上げ測度は特に興味深い特性を持っています。通常、整数に対する離散位相で定められた数え上げ測度は局所有限です。しかし、実数直線の通常のボレル位相における数え上げ測度は局所有限ではありません。このように、測度空間や対象の性質、位相に応じて局所有限かどうかは変わります。

関連項目

局所有限測度に関連する概念として、内部正則測度や狭義正測度があります。これらの測度は、局所有限測度の理解を深めるための補足的な知識を提供します。測度理論においては、これらの概念を理解することが非常に重要です。

局所有限測度の概念を理解することは、確率論や数理統計における多くの応用にとって不可欠であり、それにより理論の深化や実践的な問題の解決へとつながっていきます。

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