弧 (幾何学)

弧：幾何学における曲線の概念

この記事では、幾何学における「弧」の概念について、初等幾何学から位相空間論まで、様々な視点から解説します。

初等幾何学における弧

初等幾何学において、弧は一般的に円周の一部を指します。円周の一部を明確に示したい場合は「円弧」という用語を用います。日本語の「弧」は、元来、弓の形状を表す言葉でした。

位相空間論における弧

位相空間論では、弧の概念はより抽象的に拡張されます。閉区間[a, b]から位相空間Xへの連続写像、またはその像を弧と定義します。これは、弧状連結という概念を定義する際に重要な役割を果たし、この文脈では「道」と呼ばれることも多いです。

閉区間を単位区間[0, 1]に限定することもありますが、どちらの定義も数学的に同等です。3次元ユークリッド空間R³を位相空間Xとして考えると、弧は空間曲線の連結な一部分となり、日常的な言葉の意味に近づきます。多くの場合、この連続写像が全単射であることを要求します。これは、自己交叉がなく、閉じておらず、始点と終点を持つ曲線という意味になります。

地球上の大圏（または大楕円）の一部は、大圏コースとして現実世界の具体的な例として挙げられます。

円弧

円弧は、位相空間論における弧の特別な場合です。半径r (r>0)の円において、始点と終点の偏角をα, β (α<β)とすると、中心角はβ−αとなります。円弧は、全単射連続写像γ:[0, 1]→R²で表現できます。

円弧の長さ

半径r、中心角θの円弧の長さLは、以下の式で表されます。

L = rθ

ここで、θは弧度法で表された角の大きさです。度数法でα度と与えられている場合は、以下の関係式を用いて弧度法に変換できます。

θ = απ/180

したがって、度数法で与えられた中心角α度を用いて円弧の長さを計算する式は次のようになります。

L = rαπ/180

まとめ

この記事では、幾何学における「弧」の概念を、初等幾何学から位相空間論まで多角的に解説しました。初等幾何学における円弧から、位相空間論における抽象的な定義、そして円弧の長さの計算方法まで、幅広く論じました。これらの概念は、数学、特に幾何学や位相空間論の理解に不可欠です。さらに、現実世界の例として大圏コースなども紹介することで、より理解を深められるように工夫しました。

参考文献

* 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1989年 ISBN 978-4000054249

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