情報集合

ゲーム理論、特に展開型ゲームを分析する上で重要な概念の一つに「情報集合」があります。これは、ある特定のプレイヤーがゲームの進行中のある時点で、過去に何が起こったかについて不確かであり、その結果自分が今直面している局面（意思決定を行う手番）が具体的にどれなのか判別できない状態を表現するために用いられます。

もしゲームが「完全情報」であるならば、プレイヤーは常にゲームの開始から現在までのすべての手がどのように打たれたかを正確に知ることができます。この場合、プレイヤーが意思決定を行う局面は一意に特定されるため、情報集合は文字通り一点、つまりそのプレイヤーが現在いる特定の局面のみで構成されます。しかし、多くの現実的なゲームやモデルでは、プレイヤーが過去の情報を完全に把握できない、あるいは他のプレイヤーの行動を同時に行うため事前に知ることができないといった不完全情報な状況が存在します。このような場合、プレイヤーは複数の異なる局面において、自分がまさに今意思決定を行っている、という可能性を考慮しなければなりません。この、プレイヤー自身には区別がつかない可能性のある複数の局面の集まりが情報集合です。

展開型ゲームのグラフ構造において、情報集合は以下の二つの条件を満たす決定節（プレイヤーが手番を持つノード）のグループとして定義されます。

1. 所有権の統一: 情報集合に含まれるすべての決定節は、同一の単一プレイヤーに属しています。つまり、情報集合は特定のプレイヤーの視点から見た不確実性を表します。
2. 非識別性: その情報集合に含まれるいずれかの決定節にゲームが到達した場合、そこで手番を持つプレイヤーは、その情報集合内のどの決定節に実際にゲームが達しているのかを区別することができません。情報集合が二つ以上の決定節を含むのはこのためであり、プレイヤーはその集合内のどの点にいるか確信が持てないまま意思決定を行います。

情報集合という概念は、ポーカーのような不完全情報ゲームの研究に触発され、数学者ジョン・フォン・ノイマンによって初めて導入されたとされています。

この概念がゲームの分析にどのように影響するかは、具体的な例を見ることでより明確になります。例えば、「男女の争い」という有名なゲームを考えます。二人のプレイヤーがオペラに行くかフットボールに行くかを選ぶゲームですが、相手の選択に対して異なる選好を持っています。このゲームの展開型表現において、もし一方のプレイヤーが相手の選択を知った上で自分の選択をする場合、これは完全情報に近い逐次ゲームとなります。この場合、後から選択するプレイヤーは相手が何を選んだか正確に分かっているため、情報集合は一点からなります。このとき、ゲームの予測結果は、ゲームの進行方向に対して合理的な行動を考慮する「部分ゲーム完全均衡」によって導かれ、先に行動するプレイヤーに有利な結果となることがあります。

一方、もし後から選択するプレイヤーが、相手が何を選んだかを知ることができないとします。展開型表現では、この状況を後者のプレイヤーの複数の決定節を点線で結んで一つの情報集合として表現します。これは、後者のプレイヤーにとって、相手の最初の選択が何であったか判別できないことを示唆しています。この状態は、両プレイヤーが同時に選択を行う同時手番ゲームと分析上類似しており、情報集合が二点以上を含むために、もはや部分ゲーム完全均衡だけでは予測を絞り込めず、「ナッシュ均衡」の範囲で複数の予測（例えば、双方がオペラを選ぶ、双方がフットボールを選ぶ、あるいは確率的な混合戦略によるもの）が存在する可能性が出てきます。

このように、情報集合はプレイヤーが持つ情報の限界を形式的に表現し、ゲームの均衡分析や予測結果に決定的な影響を与える概念なのです。

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