展開型ゲーム

展開型ゲームとは

展開型ゲーム（Extensive-form game）は、ゲーム理論において、ゲームの進行過程やプレイヤーの選択肢、情報の状態を視覚的に詳細に表現するための形式の一つです。主に「ゲームの木」と呼ばれるグラフを用いて記述されます。

ゲームの表現形式には、展開型の他に、プレイヤーの戦略の組み合わせとそれに対応する利得を示す「標準型（または戦略型）」や、提携可能なゲームでの協力を表現する「特性関数型（または提携型）」があります。特に、非協力ゲームは展開型と標準型の両方で表現可能ですが、展開型はゲームの進行順序やプレイヤーが持つ情報といった側面をより豊かに捉えることができます。

展開型ゲームの記述要素

展開型ゲームを厳密に定義するには、以下の5つの要素が必要となります。

1. ゲームの木: ゲームの可能な進行経路を示すグラフ構造
2. プレイヤー分割: 各プレイヤーがどの手番を担当するかを示す割り当て
3. 偶然手番の確率分布族: ゲームに偶然の要素が含まれる場合、その確率的な動きを定義するもの
4. 情報分割: プレイヤーが意思決定を行う際に、現在の局面についてどれだけの情報を知っているかを示すもの
5. 利得関数: ゲーム終了時に各プレイヤーが得る最終的な結果や報酬を定めるもの

これらの要素が組み合わさることで、ゲームの全容が展開型ゲームとして表現されます。

ゲームの木の詳細

ゲームの木は、ゲームの局面を表す「ノード（または状態）」と、局面間の遷移を表す「枝（または選択肢）」から構成される有向グラフです。

ノード: ゲームのある時点での状態を示します。
枝: あるノードから別のノードへの遷移を可能にする選択肢であり、これは特定のプレイヤーの意思決定によるものか、あるいは偶然によって選ばれるものです。
分岐点: 枝が出ているノードであり、「手番」とも呼ばれます。ここでプレイヤーまたは偶然が次の局面へと続く枝を選択します。
頂点: 枝が出ていないノードで、ゲームの終了局面を示します。各頂点には、ゲーム終了時の各プレイヤーの「利得」（ペイオフ）が数値で定められています。これは通常、プレイヤーの数に対応した次元を持つベクトル量として表されます。
底点: 枝がどこからも到達していない唯一の分岐点で、ゲームの開始状態、つまり出発点を示します。
偶然手番: 偶然によって枝が選択される分岐点です。
* プレイヤーの手番: 特定のプレイヤーの意思によって枝が選択される分岐点です。

情報分割と情報集合

展開型ゲームの重要な要素に「情報分割（information partition）」があります。これは、プレイヤーの手番をいくつかの「情報集合（information set）」に分ける概念です。

「情報集合」とは、プレイヤーがある手番に直面した際に、ゲームの正確な局面（どの分岐点にいるか）を完全に把握できず、その情報集合に含まれる複数の手番のうち、どれか一つにいるとしか認識できない手番の集まりを指します。

例えば、多くのカードゲームでは、プレイヤーは自分の手札や場に出ているカードは見えても、他のプレイヤーの手札や山札の内容は分かりません。このため、自分が手を打つべき局面が、他の見えないカードの様々な組み合わせによって起こりうる複数の局面のどれかに該当する、という状況が生じます。これらの区別できない可能な手番の全てが、一つの情報集合を形成します。

対照的に、チェスや将棋のように、自分の手番でゲーム盤上のすべての駒の状態が完全に分かるゲームでは、すべての情報集合がたった一つの手番のみを含みます。このようなゲームを「完全情報ゲーム（Game with perfect information）」と呼びます。一方、情報集合に複数の手番が含まれるゲームは「不完全情報ゲーム（Game with imperfect information）」と呼ばれます。麻雀や七並べのように相手の手札が不明なゲームは、不完全情報ゲームの典型例です。

また、ジャンケンのようにプレイヤーが同時に手を選択するゲームは「同時手番ゲーム」と呼ばれますが、これは、実際には順番に選択が行われるものの、全員の選択が確定するまで他のプレイヤーの選択が隠されている、一種の不完全情報ゲームとして展開型ゲームで表現することが可能です。

完全記憶ゲーム

プレイヤーがゲームの途中で、自分自身の過去の選択肢を全て正確に覚えているゲームを「完全記憶ゲーム（Game with perfect recall）」と呼びます。完全情報ゲームは、必然的に完全記憶ゲームでもあります。しかし、不完全情報ゲームであっても、プレイヤーが自分の過去の行動を全て記憶していれば完全記憶ゲームとなり得ます。

一方で、プレイヤーが過去の自分の行動の一部を忘れてしまう可能性があるゲームは「不完全記憶ゲーム」と呼ばれます。例えば、プレイヤーを複数のチームメンバーの集合と考え、手番ごとに担当者が交代し、かつメンバー間で情報共有が制限されている場合などが、現実的な不完全記憶ゲームの例として挙げられます。

完備情報ゲーム

「完備情報ゲーム（Game with complete information）」とは、ゲームに参加する全てのプレイヤーが、ゲームのルール、すなわちゲームの木の構造全体を完全に知っているゲームを指します。現実世界の多くの状況、例えば経済活動や交渉などは、相手の意図や正確な状況が不明な場合が多く、必ずしも完備情報ゲームではありません。このような「不完備情報ゲーム（Game with imcomplete information）」であっても、不明な情報を偶然手番の確率的な動きとして組み込むことで、完備情報ゲームとしてモデル化し、分析することが可能です。

標準型ゲームとの比較

展開型ゲームと並んでよく用いられるのが「標準型ゲーム」または「戦略型ゲーム」です。これは、各プレイヤーが取りうる「純戦略」（ゲーム開始から終了までの行動計画）の全ての組み合わせと、それに対応する最終的な利得を一覧表（利得表）で表現する形式です。展開型ゲームにおける各手番での選択肢の列挙とは異なり、標準型ではゲーム全体を通じたプレイヤーの完全な戦略を単位とします。単に「戦略」という場合、各純戦略をある確率で選択する「混合戦略」を指すこともあります。

標準型ゲームは、特に各プレイヤーが同時に意思決定を行う状況や、ゲームの開始時点での最適な戦略を見つける分析に適しています。しかし、ゲームの途中でプレイヤーがどのような情報に基づいて判断を下すか、あるいはゲームがどのように進行するかといった詳細な過程を表現する能力においては、展開型ゲームが優れています。展開型ゲームは、プレイヤーの情報集合を通じて、不完全な情報の下での意思決定を自然に組み込むことができるため、より幅広い種類のゲームや現実世界の状況をモデル化するのに適しています。

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