捩れ部分群

捩れ部分群とその役割

アーベル群の理論において、捩れ部分群とは有限の位数を有する全ての元からなる部分群です。アーベル群が捩れ群または周期群である場合、その元は全て有限の位数を持ち、一方で捩れなし群は単位元を除く全ての元が無限の位数であると定義されます。ここで、アーベル群の加法が可換であることを利用して、有限位数の元が加法で閉じていることが示されています。

アーベル群 $A$ の捩れ部分群は $T(A)$ と表記され、これは $A$ の完全特徴部分群にあたります。さらに、剰余群 $F(A) = A/T(A)$ は捩れなし群になります。これらの性質は群論の重要な概念であり、特にアーベル群を捩れ部分群に写像する準同型や、アーベル群間の関手性に関連しています。実際、捩れ部分群に基づく共変関手 $T$ や $F$ が存在し、それによってアーベル群の圏から捩れ群や捩れなし群の圏へと写像が可能です。

さらに、有限生成のアーベル群において、捩れ部分群 $T$ と捩れなし部分群の直和として表現できることが知られています。これはアーベル群の分類において重要なステップであり、任意の分解において捩れ部分群が一意的であることが求められますが、捩れなし部分群は一意には定まらない点に注意が必要です。

p-冪捩れ部分群

アーベル群 $A$ に対する $p$ と $n$ を指定すると、$p^n$ の位数を持つ全ての元の集合で構成される部分群が $A[p^{n}] = ig\, g ext{ ∈ } A \, | \, p^{n}g = 0\big\,$ です。この集合は p-冪捩れ部分群と呼ばれ、全ての $n$ に対する和を取ったものが $A[p^{orall}] = ig\, g ext { ∈ } A \, | \exists n ∈ ext{N}, p^{n}g = 0\big\, $ となります。最初の表記もよく使用され、これは分群としての性質を持ちます。例えば、アーベル群の全ての素数 $p$ に対して、捩れ部分群 $A_{tor}$ は $A$ の p-部分との直和同型の関係を持ちます。

この性質により、アーベル群が有限アーベル群である場合、$A[p^{orall}]$ は独自のシロー $p$-部分群と一致します。これはコーシーの定理を考えることで確認できます。各 $p$-冪捩れ部分群は完全特徴部分群であり、群間の準同型は対応する $p$-捩れ部分群に元を送ります。

また、すべての群において、任意の素数 $p$ に対して $p$-冪捩れ群の圏、またはその逆の関手が存在するため、捩れ群全般を孤立して解析することが可能です。

例とさらなる研究

捩れ部分群の性質は非アーベル群において部分群とならないこともありますが、特定の構造を持つ有限アーベル群では明らかに捩れ群となります。その代表例として、無限二面体群やすべての有限アーベル群が挙げられます。さらに、自由アーベル群は必ず捩れなしですが、逆に捩れなしでないこともあるため、群論における知見が広がります。

最後に、アーベル群と他の群に対する一般的なテンソル操作により、捩れの性質が検討されます。具体的に、アーベル群に $Q$ をテンソルすると捩れが消え、その結果は群の分解や位数の観点からも重要です。これにより、アーベル群理論は多くの側面から他の代数的構造の研究に寄与し続けています。

もう一度検索