群の直和

群の直和

群の直和とは、与えられた群の集合から新しい群を作成する方法で、特に群の特定の性質を満たす部分群で表現できる特徴があります。これは抽象代数学において、ベクトル空間や加群といった構造に一般化されています。ここでは、群の直和についての基本的な概念、性質、例を紹介します。

群の直和の定義

群 G が H1 と H2 の直和であるためには、次の条件が必要です：
1. H1 と H2 はともに G の正規部分群であること。
2. H1 と H2 の共通部分は単位元のみであること。
3. G が H1 と H2 で生成されること。
この場合、G を H1 + H2 で表記します。また、複数の部分群 {Hi} の直和も似た定義で成り立ちます。

基本性質

群の直和は以下のような性質を持っています：

• - 可換性: G = H + K = K + H が成り立ちます。
• - 結合性: G = H + (L + M) = (H + L) + M という形で結合法則が成り立ちます。

これにより、群の各元がどのように表されるかが明確になります。すべての元 g ∈ G は、特定の h ∈ H と k ∈ K の形で一意的に書けるため、商群においても簡約が行えます。

有限直和と無限直和

有限直和は、群の直積にほぼ同じ意味を持ちますが、無限直和の場合は注意が必要です。無限直和は、群の直積とは異なり、同型ではないことがあります。無限直和は、しばしば制限直積とも呼ばれます。さらに、無限集合の部分群が直和である場合についても説明が必要です。群の各元が特定の有限集合に依存して一意的に表現できる場合、その群は内部直和、または外部直和としてワークされます。

直和分解と直可約性

群 G の部分群 H が直和成分であるとは、H と別の部分群 K が存在して G が H と K の直和で表せる場合です。特にアーベル群については、可除部分群が直和成分となります。直可約性や直既約性は、群を非自明な部分群の直和として表現できるかどうかに依存します。

例と応用

特定の群の例では、群 G が部分群の直和であることが確認できます。例えば、群 V4（クライン群）は、2つの異なる直和の形を持つことが証明されています。

結論

群の直和は、抽象代数学の基本的な構造の一部であり、さまざまな応用があります。群の直和の理解は、ベクトル空間や加群の理論においても不可欠です。群の特性を把握することで、数学的な問題解決に役立つ重要なツールとなります。

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