掛谷集合

掛谷集合（ベシコビッチ集合）

定義と概要

掛谷集合（かけやしゅうごう、英: Kakeya set）またはベシコビッチ集合（英: Besicovitch set）は、数学、特に幾何測度論の分野で研究される特異な図形です。これは、ユークリッド空間内の点の集合であって、空間のあらゆる方向を向いた単位線分（長さ1の線分）をその内部に含む、という性質を持ちます。名称は、日本の数学者である掛谷宗一とロシア出身の数学者アブラム・ベシコヴィッチの研究にちなんでいます。

この集合の最も驚くべき性質は、その「大きさ」に関することです。直感的には、あらゆる方向の線分を含むにはかなりの広がりが必要に思えますが、実際には、任意の正の数よりも小さい測度（面積や体積といった「大きさ」の尺度）を持つ掛谷集合が存在することが知られています。これは、通常の図形に対する直感とは大きく異なる性質です。

掛谷集合に関連して、平面において単位線分を連続的に移動させることで、元の位置で向きを180度反転させて戻すことができるような点の集合を掛谷針集合と呼びます。ベシコヴィッチはさらに進んで、単位長の針が連続的に動き、360度完全に回転できるような領域についても研究し、そのような領域の面積が任意に小さくなりうることを示しました。彼のこの研究が、あらゆる方向に単位線分を含む平面集合、すなわち現在のベシコビッチ集合の研究へと繋がります。ベシコビッチが任意に小さい測度を持つこのような集合の存在を初めて示したのは1919年のことでした。

構築方法の概略

任意に小さい測度を持つベシコビッチ集合を具体的に構成する方法がいくつか知られています。その一つに、オスカー・ペロンにちなんでペロンツリーと呼ばれる方法があります。これはベシコビッチの元の構成法を簡略化したものです。

構築のアイデアは、針をほとんど面積を掃かずに移動させる技術（パール結合と呼ばれる）や、大きな三角形を多数の小さな三角形に分割・再配置して全体の面積を小さく保ちつつ、元の三角形が掃く方向を全てカバーできるようにするというものです。例えば、ある三角形を多数の部分三角形に分割し、それらを巧みに重ね合わせることで、それぞれの部分三角形が担当する方向を針が順に掃けるようにします。この際、隣接する部分三角形間を針が移動する際に掃かれる面積を最小限に抑えるために、パール結合のような技術が利用されます。このプロセスを繰り返すことで、最終的に得られる形状は、元の三角形が掃くすべての方向（すなわち特定の範囲の方向）を包含しながら、面積を任意に小さくすることができます。すべての方向を包含する掛谷集合は、このような形状を回転させて組み合わせることで得られます。この精密な構築法と面積の上限値については、ベシコビッチの著作に詳しく述べられています。

任意に小さい正の測度を持つ掛谷針集合も存在しますが、測度ゼロの掛谷針集合は存在しません。一方、ベシコビッチ集合（すべての方向の単位線分を含む集合）については、測度ゼロのものが存在します。これは構成法によって実現可能で、例えばカハーヌはカントール集合を用いて二次元平面における測度ゼロのベシコビッチ集合を構築しています。

掛谷針集合に関する定理と例

掛谷針集合についてもいくつかの興味深い結果が得られています。

面積の小ささ: 任意の正の数 ε に対して、ε より小さい面積を持つ掛谷針集合が存在します。
最小の凸集合: 単位線分を180度回転させることのできる凸集合の中で、面積が最小となるのは一辺が $2/\sqrt{3}$ の正三角形であることが知られています。
単連結集合: 半径1の円板内に含まれる単連結な掛谷針集合で、面積が任意に小さいものが存在します。これに関する研究では、ブルームとショーンバーグによって特定の面積値（ブルーム・ショーンバーグ数）が示されましたが、後にF. カニンガムによって、半径1の円内で面積が任意に小さい単連結な掛谷針集合が存在することが示されました。

掛谷針集合となりうる図形の例としては、以下のものが挙げられます（それぞれ単位線分を回転させるための領域として）。面積はおおよその値です。

半径 0.5 の円板 (面積 ≈ 0.785)
幅 1 のルーローの三角形 (面積 ≈ 0.705)
一辺 $2/\sqrt{3}$ の正三角形 (面積 ≈ 0.577)
* 半径 3/4 の円に内接するデルトイド (面積 ≈ 0.393)

掛谷予想とその進展

ベシコビッチ集合が任意に小さくなりうるという発見は、高次元空間における同様の問題へと繋がり、掛谷予想と呼ばれる一連の予想群を生み出しました。これは幾何測度論という数学分野の重要なテーマの一つとなっています。掛谷予想の中心的な問いは、「測度ゼロのベシコビッチ集合が存在するとして、それらが存在する空間の次元よりも小さい次元のハウスドルフ測度（集合の「細さ」を測る尺度）がゼロになることはあるのか？」というものです。

具体的には、Rn空間におけるベシコビッチ集合（あらゆる方向に単位線分を含む集合）は、必ずそのハウスドルフ次元とミンコフスキー次元が空間の次元 n に等しくなるのではないか？という予想です。この予想は n = 1 および n = 2 の場合には正しいことが証明されています（n=1は自明、n=2はDaviesによる）。しかし、n > 2 の高次元空間では、この予想は未解決の難問であり、現在も多くの数学者によって研究が進められています。これまでの研究で、掛谷集合のハウスドルフ次元やミンコフスキー次元の下限に関する部分的な結果が得られています。例えば、Wolffは次元が少なくとも (n+2)/2 であることを示し、後にKatzとTaoなどがこれを改善しています。また、3次元空間においては、ミンコフスキー次元が 5/2 より大きいこと、ハウスドルフ次元が 5/2 + ε より大きいことなどが証明されています。

掛谷予想への現代的なアプローチの一つに、掛谷最大関数と呼ばれる特殊なタイプの最大関数を解析する方法があります。この最大関数の Lp ノルムに関する予想（掛谷最大関数予想）が、高次元の掛谷集合予想の解決を示唆すると考えられています。

他分野への応用と一般化

掛谷問題は、その特異な性質から、数学の他の分野、特に調和解析にも関連しています。例えば、1971年にチャールズ・フェッファーマンは、ベシコビッチ集合の構成法を利用して、次元が1を超える場合の球体上でのフーリエ積分の収束に関する重要な反例を示しました。

また、掛谷問題は様々な方法で一般化されています。直線のセグメントだけでなく、円や球、あるいはより一般的なk次元部分空間の一部を含む集合に関する類似の問題が研究されています。(n, k)-ベシコビッチ集合は、Rn空間内で任意のk次元部分空間の一部を平行移動で含む集合として定義されます。k > 1の場合にこのような集合が存在しないかという予想（(n, k)-ベシコビッチ予想）が立てられ、いくつかの部分的な結果が得られています。

さらに、ユークリッド空間ではなく有限体上のベクトル空間における掛谷集合の類似問題も研究されています。これは、有限体上の掛谷集合のサイズ（点の個数）に関するもので、2008年にゼエブ・ディヴィールによって解決されました。彼は、サイズが少なくとも $|F|^n/n!$ （$|F|$ は体の元の個数）となることを証明し、この証明に用いられた代数的な手法が、元のユークリッド空間における掛谷予想の理解にも貢献する可能性が議論されています。

掛谷集合とそれにまつわる問題群は、測度論、幾何学、解析学、さらには組合せ論や数論に跨る広範な数学分野に影響を与え、活発な研究が続けられています。

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