方正函数

方正関数（Regulated Function）

概要と歴史

数学、特に解析学において、方正関数は実数直線の閉区間上で定義される関数の中でも、比較的「扱いやすい」性質を持つクラスとして知られています。これらの関数は、主に積分論の文脈で重要視され、その特徴付けにはいくつかの異なる方法が存在します。方正関数の概念は、1954年にドイツの数学者ゲオルク・オーマンによって導入されました。その後、フランスの数学者集団ブルバキの一員であるジャン・デュドネらが、これに対応する積分の理論を発展させました。

定義

方正関数の定義は、関数の値域がバナッハ空間という特定の性質を持つベクトル空間である場合に最も一般的に述べられます。ノルム‖⋅‖X を備えたバナッハ空間 X を考えます。閉区間 [0, T] から X への関数 f: [0, T] → X が方正関数であるとは、以下の二つの同値な条件のうち、いずれか一方（したがって両方）を満たすことを言います。

1. 片側極限の存在: 区間 [0, T] 内の任意の点 t に対して、その点での左側極限 f(t−) および右側極限 f(t+) が、空間 X の中で存在します。ただし、区間の左端である 0 においては右側極限 f(0+) のみ、右端である T においては左側極限 f(T−) のみが考えられます。

2. 階段関数による一様近似: 関数 f に対して、階段関数（有限個の区間で一定値をとる関数）の列 (φn)n が存在し、この列が一様ノルム ‖⋅‖∞ に関して関数 f に収束します。つまり、任意の正の数 δ に対して、‖f - φδ‖∞ < δ を満たす階段関数 φδ を見つけることができます。これは、方正関数の全体が、階段関数全体の空間を一様ノルムに関して閉包をとることで得られる集合に一致することを意味します。

これらの二つの条件は互いに同値であり、方正関数の基本的な性質を捉えています。

主な性質

方正関数の全体は、様々な良い性質を持っています。Reg([0, T]; X) を区間 [0, T] 上で定義され、バナッハ空間 X に値をとる方正関数全体の集合とします。

線形空間および代数構造: X が体 K（例えば実数 R や複素数 C）上のベクトル空間である場合、二つの方正関数の和や、方正関数のスカラー倍は再び方正関数となります。したがって、Reg([0, T]; X) は K 上のベクトル空間を構成します。さらに、X が乗法を持つ代数である場合は、方正関数同士の（点ごとの）積もまた方正関数となり、Reg([0, T]; X) は代数となります。

バナッハ空間構造: 一様ノルム ‖⋅‖∞ は Reg([0, T]; X) 上のノルムを与えます。特に、値域空間 X がバナッハ空間であるならば、Reg([0, T]; X) もこの一様ノルムに関して完備であり、自身もバナッハ空間となります。実数値方正関数全体の空間 Reg([0, T]; R) は、実数の無限次元バナッハ代数です。

連続関数との関係: 閉区間上の連続関数は一様連続であるため、[0, T] から X への任意の連続関数は方正関数です。連続関数全体の空間 C0([0, T]; X) は、一様ノルムに関して Reg([0, T]; X) の閉部分空間となります。

有界変動関数との関係: 値域空間 X がバナッハ空間のとき、有界変動関数全体の空間 BV([0, T]; X) は Reg([0, T]; X) の中で稠密な部分空間となります。つまり、任意の方正関数は、有界変動関数によっていくらでも近くから一様近似できます。さらに、方正関数は、ある種の重み付き有界変動関数として特徴づけることも可能です。

* 不連続点の構造: 方正関数が不連続となる点の集合は、必ず可算集合となります。これは、与えられた正の数 ε に対して、左側極限と右側極限の差のノルムが ε より大きいような点は有限個しか存在しないことから示されます。特に、不連続点集合は測度零の集合となります。

積分との関係

方正関数の重要な性質の一つは、その不連続点集合が可算であることです。この性質から、方正関数はリーマン積分の意味で積分可能であることが保証されます。リーマン積分は、不連続点集合が測度零である関数に対して矛盾なく定義できるためです。

また、方正関数は階段関数によって一様に近似できるという定義の性質を利用して、積分の概念を拡張することも可能です。階段関数の積分は自然に定義できますが、方正関数 f に対して、f に一様収束する任意の階段関数列 (φn)n の積分の極限を考えることで、方正関数の積分が定義されます。この方法で定義される「方正積分」は、列の選び方によらず一意に定まり（well-defined）、線形性などの積分の持つ通常の性質をすべて満たします。

驚くべきことに、このように定義される方正積分は、リーマン積分と完全に一致します。さらに、この積分操作は、方正関数全体の空間 Reg([0, T]; X) から値域空間 X への有界線型写像となります。特に X が実数直線 R の場合、この積分は Reg([0, T]; R) の双対空間の元として見なすことができます。

このように、方正関数は、片側極限の存在という比較的緩やかな条件を満たしながらも、階段関数による近似可能性や、リーマン積分可能性といった解析学的に非常に都合の良い性質を多数持つ関数クラスと言えます。その性質は、関数空間論や積分論における様々な議論の基礎となります。

もう一度検索