材料の構成式

材料の構成式について

材料の構成式（英: constitutive equation of materials）は、物質が外的な力や影響に対してどのように反応するかを数学的に表現する式です。これらの式は、材料の特性を反映しており、材料特性を示す「材料定数」を必ず含んでいます。

物質は、原子や分子からなる離散的な集まりですが、構成式はこれらを一つの連続体として扱い、物理的な性質の関係性を説明します。材料力学では、主に外力が物質に与える変形を表現する「応力-歪みの関係式」が構成式と呼ばれます。一方、それに関連する電磁的な関係式も構成式に含まれますが、熱力学的な関係は別の「状態方程式」として分類されます。

構成式とは？

構成式は、「構成法則」とも呼ばれますが、その形は基本的な運動方程式から導かれるのではなく、主に実験データに基づいて現象をモデル化することで得られます。したがって、構成モデルと呼ばれることがあります。しかし一方で、物質の微視的な構造から出発して、変形の本質的なプロセスを明らかにした構成式も存在しています。

構成則の性質

構成則が満たすべき性質として、「物質客観性の原理」があります。これは物質の特性が観測者の状態に関わらず同じであるべきだという原則です。このため、構成式は観測者が変化してもその形が変わらない必要があります。具体的には、剛体の運動を考慮しても、コーシー応力テンソルや変形勾配テンソルといった物理量は変わらないということです。

構成式の分類

構成式は、通常、材料の特性に応じて以下のように分類されます。

1. 弾性体

弾性体の構成式は、フックの法則に基づいています。ここでは、せん断応力（τ）とせん断ひずみ（γ）の関係が示され、横弾性係数（G）を用います。

$$
τ = Gγ
$$

2. 粘性体

ニュートンの粘性法則にもとづく流体の構成式では、せん断応力はせん断ひずみ速度に粘性係数（η）を掛けたものとして表されます。

$$
τ = η\dot{γ}
$$

3. 塑性体

プラスティック材料は、常にせん断降伏応力（k）に達するというのが特徴です。

$$
τ = k
$$

こうした理想的なモデルを基に、実在する材料特性により近い複合モデルが構築されます。

4. 弾塑性体

弾塑性体は、弾性と塑性の特性を組み合わせたもので、せん断応力は以下の式で表現されます。

$$
τ = \begin{cases} Gγ & (γ < k/G) \\ k & (γ ≥ k/G) \end{cases}
$$

5. 硬化塑性体

応力と変形の関係をシンプルな式で記述する場合、以下のように表現されます。

$$
τ = k + Hγ
$$

6. 粘塑性体

このモデルは、ビンガムの流体とも呼ばれ、次のように表現されます。

$$
τ = k + η\dot{γ}
$$

7. 複合材料

粘弾性体や弾粘塑性体などがあり、これらは地質工学や材料工学において重要な役割を果たしています。

これらの構成方式は、物理学や工学における多くのモデルケースで用いられ、実際の物質の振る舞いや特性理解に寄与しています。構成式に基づく知識は、材料選定や設計の根幹をなすものであり、広範囲な応用が期待されます。

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