楕円型複体

楕円型複体とは

楕円型複体（だえんがたふくたい、英: elliptic complex）は、数学の特に偏微分方程式論や微分幾何学において用いられる重要な概念です。これは、単一の楕円型微分作用素が持つ強力な解析的性質を、複数の微分作用素が連鎖的に作用する「列」、すなわち複体へと一般化した構造です。この概念は、現代数学における多くの深遠な理論、例えばホッジ理論やアティヤ＝シンガーの指数定理を理解する上で不可欠な要素となっています。

定義

楕円型複体を厳密に定義するためには、まず微分複体という構造から説明が必要です。滑らかな多様体 M の上に、いくつかのベクトル束 E_0, E_1, ..., E_k が与えられているとします。これらのベクトル束の滑らかな切断（多様体上の関数やベクトル場のようなもの）全体のなす空間をそれぞれ Γ(E_0), Γ(E_1), ..., Γ(E_k) と表します。

これらの空間の間を結ぶ微分作用素の列 P_1: Γ(E_0) → Γ(E_1), P_2: Γ(E_1) → Γ(E_2), ..., P_k: Γ(E_{k-1}) → Γ(E_k) が存在し、かつ隣り合う作用素の合成がゼロになるという条件 P_{i+1} o P_i = 0 を満たすとき、この列を微分複体と呼びます。この P_{i+1} o P_i = 0 という条件は、代数学における鎖複体の定義と本質的に同じであり、数学において非常に普遍的な構造です。

この微分複体が「楕円型」であるという条件は、多様体 M の余接束 T^M 上で考えられる、各作用素 P_i の「主表象」と呼ばれるものが定めるベクトル束の列が特定の性質を満たすことによって定義されます。

具体的には、余接束への射影を π とし、ベクトル束の引き戻しを π とするとき、主表象 σ(P_i) から構成されるベクトル束の列

`0 -> πE_0 σ(P_1)> πE_1 σ(P_2)> ... σ(P_k)> πE_k -> 0`

が、余接束 T^M のゼロ切断（多様体上の各点に対応する余接空間の原点）の外側で完全であるときに、元の微分複体は楕円型であると言われます。

ここで「完全である」とは、このベクトル空間の列において、ある写像の像（出力空間）が、次の写像の核（入力空間でゼロに写される要素の集合）と一致するという代数的な性質です。この「ゼロ切断の外側での完全性」という条件が、楕円型複体全体の解析的な強さ、すなわち「楕円性」を表現しています。

数学的意義

楕円型複体が持つ解析的性質（楕円性）と代数的な構造（複体であること）の組み合わせは、数学において極めて強力なツールとなります。例えば、微分形式とその外微分作用素からなるド・ラーム複体や、複素多様体上の正則形式とそのドルボー作用素からなるドルボー複体は、重要な楕円型複体の例です。

これらの複体を対象とするホッジ理論は、楕円型複体の理論を用いて展開され、多様体のトポロジーと解析を結びつける基本的な枠組みを提供します。特に、多様体のコホモロジー群の構造が、楕円型複体の解析的な性質によって記述されることが示されます。

さらに、楕円型複体はアティヤ＝シンガーの指数定理の中心的な概念でもあります。この定理は、ある楕円型作用素（あるいはより一般的には楕円型複体に関連付けられるもの）の解析的指数、すなわちその作用素の核空間と余核空間の次元の差が、多様体の幾何学的・位相的な情報から定まる不変量と等しいことを主張します。これは、解析学、幾何学、トポロジーを結びつける最も重要な結果の一つであり、楕円型複体はその定式化において不可欠な役割を果たします。

アティヤ＝ボットの不動点定理など、他の深遠な数学的結果にも楕円型複体のアイデアは現れます。

楕円型複体は、より一般的な代数的概念である鎖複体の特殊かつ重要な例と見なすことができます。

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