鎖複体

鎖複体と双対鎖複体

鎖複体（さふくたい、英: chain complex）および双対鎖複体（そうついさふくたい、英: cochain complex）は、数学の特に代数トポロジーの分野で生まれ、現在ではホモロジー代数における中心的な概念となっています。

これらの代数的構造は、元々、位相空間が持つ様々な次元の「サイクル」（穴のようなもの）と「バウンダリ」（境界）の間の関係性を、代数的に捉えるために用いられました。今日では、空間との具体的な関連から離れ、抽象的な代数的対象として広く研究されています。

定義

鎖複体とは、アーベル群または加群の無限列

`..., A_2, A_1, A_0, A_{-1}, A_{-2}, ...`

と、これらの群・加群を結ぶ準同型写像の列 `..., d_2, d_1, d_0, d_{-1}, ...` から構成されます。この準同型写像 `d_n: A_n → A_{n-1}` は「境界作用素」または「微分」と呼ばれ、連続する二つの境界作用素の合成が常にゼロ写像となるという性質 `d_n ∘ d_{n+1} = 0` を満たします。

鎖複体は通常、次のような図式で表現されます。

`... → A_{n+1} → A_n → A_{n-1} → ... → A_1 → A_0 → A_{-1} → ...`


一方、双対鎖複体（コチェイン複体とも呼ばれます）は、鎖複体と非常によく似た構造です。これもまたアーベル群または加群の列

`..., A^{-2}, A^{-1}, A^0, A^1, A^2, ...`

と、それらを結ぶ準同型写像の列 `..., d^{-1}, d^0, d^1, d^2, ...` からなります。しかし、双対鎖複体における準同型 `d^n: A^n → A^{n+1}` は、鎖複体とは逆に次数を一つ上げます。こちらも、連続する二つの写像の合成はゼロ写像となるという性質 `d^{n+1} ∘ d^n = 0` を満たします。

双対鎖複体は次のように表現されます。

`... → A^{-1} → A^0 → A^1 → ... → A^{n} → A^{n+1} → ...`


`A_n` や `A^n` の添え字 `n` は「次数」または「次元」と呼ばれます。鎖複体と双対鎖複体の定義の主な違いは、境界作用素が次数を下げるか（鎖複体）、それとも上げるか（双対鎖複体）という点にあります。両側に無限に続く系列でない限り、次数付けの向きを除けば形式的には同じ構造とみなせます。

基本的な性質と用語

連続する二つの作用素の合成がゼロになるという性質は、抽象的には `dd = 0` と簡潔に表されます。

鎖複体の各 `A_n` の要素は「チェイン」または「鎖」と呼ばれます。双対鎖複体では「コチェイン」と呼ばれます。境界作用素 `d` による像（イメージ）は「バウンダリ」（鎖複体）または「コバウンダリ」（双対鎖複体）と呼ばれ、それらは部分群をなします。また、`d` による核（カーネル、つまり `d` でゼロに移される元の集合）の要素は「サイクル」（鎖複体）または「コサイクル」（双対鎖複体）と呼ばれます。

`dd=0` という性質から、常に（コ）バウンダリは（コ）サイクルであることが導かれます。この代数的な現象を組織的に研究するのが（コ）ホモロジー論です。

多くの `A_n` がゼロである（つまり、有限個の次数を除いて非ゼロの群/加群がない）複体は「有界鎖複体」と呼ばれます。ある次数より大きいか、あるいは小さい次数で全てゼロとなる複体は、それぞれ「上に有界」「下に有界」と呼ばれます。有界鎖複体は、上にも下にも有界な複体と同値です。

関連概念

• - チェイン写像（鎖写像）: 二つの鎖複体の間の「射」にあたる概念です。これは、それぞれの複体の対応する次数間の準同型写像の列 `f_n: A_n → B_n` であり、各次数で境界作用素と「可換」である、すなわち `d_{B,n} ∘ f_n = f_{n-1} ∘ d_{A,n}` という関係を満たすものです。チェイン写像はホモロジー群の間の準同型を誘導します。鎖複体とチェイン写像は、圏を形成します。

• - テンソル積: 二つの鎖複体 `V` と `W` から、新たな鎖複体 `V ⊗ W` を構成できます。その次数 `i` の成分は、`V_j` と `W_k` のテンソル積 `V_j ⊗ W_k` のうち `j+k=i` となる全ての直和として定義され、微分（境界作用素）は特定の符号則を含むライプニッツ則のような規則で定義されます。この構成により、鎖複体の圏は対称モノイダル圏という豊かな代数的構造を持ちます。

• - 内部Hom: 鎖複体の圏は、テンソル積と対をなす内部Homも持ちます。二つの鎖複体 `V` と `W` に対し、`hom(V, W)` という新たな鎖複体を構成できます。

• - チェインホモトピー: 二つのチェイン写像の間の重要な同値関係です。チェインホモトピックな写像は、ホモロジー群上で全く同じ写像を誘導するという性質を持ちます。これは、位相空間の間のホモトピックな連続写像が、ホモロジー群上の同一の写像を誘導するという事実に繋がります。

具体例

• - 特異ホモロジー: 位相空間 `X` に対して定義される鎖複体です。`C_n(X)` は `X` 内の特異 n-単体から生成される自由アーベル群で、境界作用素は n-単体の面への制限の交代和で定義されます。これにより `dd=0` を満たす鎖複体が構成され、そのホモロジー群が特異ホモロジー群 `H_n(X)` です。

• - ド・ラームコホモロジー: 滑らかな多様体 `M` 上の微分形式全体 `Ω^*(M)` は、外微分 `d` を境界作用素とする双対鎖複体をなします。外微分の性質 `dd=0` から、これは確かに双対鎖複体となります。この複体のコホモロジー群がド・ラームコホモロジー群 `H_{dR}^k(M)` です。

このように、鎖複体および双対鎖複体は、抽象的な代数的対象でありながら、幾何学や位相空間の構造を代数的に捉えるための強力な道具として、現代数学の様々な分野で用いられています。

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