楕円幾何学

楕円幾何学：曲がった空間の幾何学

ユークリッド幾何学では、平面上に引いた直線に対し、その直線上にない一点から、平行な直線をただ一本だけ引くことができる、という平行線公準が成り立ちます。しかし、楕円幾何学ではこの公準は成り立ちません。

楕円幾何学は、正の曲率を持つ曲がった空間における幾何学です。これは、ユークリッド空間とは異なる性質を持つ空間における幾何学的な性質を研究する分野です。球面を想像すると分かりやすいでしょう。球面上の最短距離を結ぶ線は、大円（球の中心を通る平面で球面を切ったときの円周）です。この大円を球面上の「直線」とみなすと、ユークリッド幾何学とは異なる幾何学が展開されます。

平行線の存在しない空間

楕円幾何学においては、「ある直線とその直線上にない一点を通る、平行な直線は存在しない」という公理が導入されます。この公理は、ユークリッド幾何学の平行線公準を完全に否定するものです。

さらに、楕円幾何学では、「有限の直線を連続的にまっすぐ延長できる」というユークリッド幾何学の公理も否定されます。これは、球面上で直線を延長すると、最終的に元の位置に戻ってしまうことに対応しています。

球面モデル：リーマン球面

楕円幾何学を理解する上で最も分かりやすいモデルは、球面です。球面上の「直線」は大円であり、二つの大円は必ず二点で交わります。これは、平面上の平行線とは全く異なる性質です。

例えば、赤道に対して垂直な二つの大円（経線）は、赤道上では平行に見えますが、北極と南極で交わります。この球面モデルはリーマン球面と呼ばれ、楕円幾何学を視覚的に理解する上で非常に役立ちます。

球面上の距離や角度は、大円弧の長さや角度として定義されます。このため、球面上の三角形の内角の和は180度より大きくなり、ユークリッド幾何学とは異なる三角法、球面三角法が成立します。

また、球面上で、球の中心に対して対称な二点は同一視されます。このため、このような二点を通る「直線」は無数に存在することになります。

射影平面モデル

もう一つの楕円幾何学のモデルとして、射影平面があります。射影平面は、ユークリッド平面に無限遠点を追加した空間です。この空間では、平行な直線も無限遠点で交わります。

射影平面は、長さの概念を用いない点が特徴です。射影幾何学では、図形の位置関係や投影関係などが中心的な研究対象となります。

非ユークリッド幾何学としての意義

楕円幾何学は、非ユークリッド幾何学の一種です。非ユークリッド幾何学は、ユークリッド幾何学とは異なる幾何学体系であり、空間の性質についての私たちの理解を大きく広げました。

楕円幾何学は、物理学、特に一般相対性理論において重要な役割を果たします。一般相対性理論では、宇宙空間は曲がっていると考えられており、楕円幾何学はそのような曲がった空間を記述するのに適した数学的枠組みを提供します。

まとめ

楕円幾何学は、ユークリッド幾何学とは異なる、平行線が存在しない幾何学です。球面や射影平面は、楕円幾何学の重要なモデルであり、これらのモデルを用いることで、楕円幾何学の特徴を視覚的に理解することができます。楕円幾何学は、現代幾何学、そして物理学においても重要な役割を担っている、奥深い数学の分野です。

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