標本化定理

標本化 定理：アナログ信号からデジタル信号への変換

標本化定理は、連続的なアナログ信号を離散的なデジタル信号に変換する際に、元の信号を正確に再現するために必要な標本化（サンプリング）の頻度を規定する重要な情報理論の定理です。この定理は、信号処理、デジタル通信、画像処理など、幅広い分野で基礎的な役割を果たしています。

定理の概要

標本化定理の中心となる概念は、元のアナログ信号の最大周波数の2倍以上の周波数で標本化すれば、元の波形を完全に復元できるというものです。この最大周波数の2倍の周波数をナイキスト[[周波数]]と呼びます。ナイキスト[[周波数]]よりも低い周波数で標本化すると、元の信号に含まれていない偽の周波数成分（エイリアス信号）が発生し、元の信号を正確に復元できなくなります。

数学的には、連続関数g(x)を標本化関数δ(x)と掛け合わせることで離散関数G(x)が得られます。標本化関数δ(x)は、特定の離散値においてのみ1となり、それ以外の値では0となる関数です。標本化定理は、g(x)のフーリエ変換F(f)が|f|≧Wの範囲で0となる場合、1/f < 1/(2W)より小さい周期を持つ標本化関数で標本化した際に得られる関数のスペクトルが、|f|スペクトルと一致することを示しています。

工学的な観点からは、元の信号の最大周波数fmaxの2倍（2fmax）よりも高い周波数で標本化された信号は、ローパスフィルタ（ハイカットフィルタ）を用いて高域成分を除去することで、元の信号を完全に復元できることを意味します。

例えば、最大周波数が22.05kHzのオーディオ信号を扱う場合、44.1kHz以上のサンプリング[[周波数]]で標本化することで、元の信号を完全に復元できます。サンプリング[[周波数]]が2fmaxを下回ると、エイリアス信号が発生し、元の信号とは異なる信号が復元されてしまいます。

ナイキスト[[周波数]]とエイリアス信号

ナイキスト[[周波数]]は、正確な信号再現に必要な最低限のサンプリング[[周波数]]を示す重要な指標です。この周波数よりも低い周波数でサンプリングすると、エイリアス信号が発生します。エイリアス信号とは、元の信号に存在しない周波数成分が、サンプリングによって生じる偽の信号です。エイリアス信号は、元の信号の歪みやノイズの原因となり、信号の品質を著しく低下させます。

量子化

アナログ信号からデジタル信号への変換には、標本化に加えて量子化が必要になります。量子化とは、標本化されたアナログ信号の振幅値を、離散的なデジタル値に変換する過程です。量子化によって、アナログ信号の振幅の連続性が失われ、量子化誤差が発生します。量子化誤差は、信号の精度に影響を与えます。

標本化 定理の証明

標本化定理の証明は、フーリエ級数を用いることで比較的容易に行えます。理想的な標本化パルス列をフーリエ級数展開し、入力信号を単一正弦波として仮定することで、出力信号の周波数スペクトルを計算し、定理が成り立つことを示すことができます。詳細な証明は、数学的な知識を必要とするため、ここでは省略します。

歴史的背景

標本化定理は、1928年にハリー・ナイキストによって予見され、1949年にクロード・シャノンによって厳密に証明されました。そのため、「シャノンの標本化定理」または「ナイキスト-シャノンの標本化定理」と呼ばれることが多いです。しかし、その後、ソ連のウラジーミル・コテルニコフ、ドイツのH.P.ラーベ、日本の染谷勲など、シャノンとは独立に標本化定理を証明した人物が複数存在していたことが明らかになりました。また、イギリスのエドマンド・テイラー・ホイッテーカーも、補間法の公式として同様の定理を1915年に証明していました。さらに、小倉金之助の1920年の論文が世界初の証明であるとする説もあります。これらの発見は、標本化定理の発見と発展の歴史における多様な貢献を示しています。

標本化定理