標準型ゲーム

標準型ゲームとは

標準型ゲームは、正規形ゲームあるいは戦略型ゲームとも呼ばれ、非協力ゲームの分析において、展開型ゲームと並ぶ最も基本的な表現形式の一つです。この形式では、ゲームは基本的にプレイヤーの集合、各プレイヤーが選択可能な戦略の集合（これを組み合わせた戦略空間）、そして選択された戦略の組み合わせによって各プレイヤーが得られる利得（報酬）の3つの要素で完全に記述されます。標準型ゲームは、プレイヤーが同時に、あるいは相手の戦略を知らずに戦略を選択するような、同時手番ゲームとして理解することができます。

ゲームの構成要素

標準型ゲームは、数学的には G = (N, S, u) という3つの要素の組として表現されます。

プレイヤー集合 (N):
ゲームに参加する全ての意思決定主体（プレイヤー）の集まりです。有限人数のゲームを考えることが一般的です。

戦略空間 (S):
ゲームにおける可能な戦略の組み合わせ全体を示す空間です。プレイヤー i それぞれが選択できる戦略の集合を Sᵢ とするとき、戦略空間 S は、すべてのプレイヤーの戦略集合 Sᵢ の直積 S = ∏ᵢ∈N Sᵢ として定義されます。S の要素 s = (sᵢ)ᵢ∈N は、各プレイヤーが一つずつ戦略を選んだ結果の組み合わせを表します。

利得関数 (u):
選択された戦略の組み合わせ s ∈ S に対して、各プレイヤーが得る利得を数値で表す関数です。プレイヤー i の利得関数 uᵢ は S から実数への写像 uᵢ: S → ℝ であり、u = (uᵢ)ᵢ∈N はプレイヤーごとの利得関数をまとめたものです。利得は、そのプレイヤーにとっての選好や満足度を示すものと考えられます。

プレイヤー集合 N および戦略空間 S が共に有限であるゲームは、特に有限ゲームと呼ばれます。

戦略の種類

プレイヤーが実際にどのような行動を選択するかを定義するのが戦略です。

純粋戦略 (Pure Strategy):
プレイヤー i が自身の戦略集合 Sᵢ の中から、特定の戦略 sᵢ を一つだけ選択することを指します。これは、ゲームに対する確定的な行動計画と考えることができます。

混合戦略 (Mixed Strategy):
プレイヤー i が、自身の純粋戦略集合 Sᵢ 上の各純粋戦略に対して確率を割り当て、その確率分布に従って純粋戦略をランダムに選択することを指します。例えば、ある戦略を確率 p で、別の戦略を確率 1-p で選ぶ、といった行動です。Si が有限集合である場合、混合戦略 σᵢ は Sᵢ の要素 sᵢ ごとに [0, 1] の確率 σᵢ(sᵢ) を割り当て、その合計が 1 になるような写像 (∑ sᵢ∈Sᵢ σᵢ(sᵢ) = 1) として定義されます。混合戦略は、相手に自分の行動を読まれにくくするために用いられることがあります。

2人ゲームの表現

プレイヤーが2人（例えばプレイヤーAとプレイヤーB）である標準型ゲームは、しばしば双行列ゲームとして表現されます。これは、それぞれのプレイヤーの戦略に対応する行と列を持つ行列形式で利得を示すもので、ゲームの構造を視覚的に分かりやすく捉えることができます。

展開型ゲームとの関係

ゲームの表現形式には、標準型ゲームのほかに展開型ゲームがあります。展開型ゲームは、ゲームの進行順序、プレイヤーがどの時点で意思決定を行うか、その際にどのような情報を持っているかといった、より詳細な情報を表現できます。一方、標準型ゲームはこれらの時間的な要素や情報構造を明示しません。

しかしながら、展開型ゲームで行われる全ての行動計画（戦略）とその結果得られる利得は、標準型ゲームの枠組みで表現することが可能です。つまり、すべての展開型ゲームは標準型ゲームに変換できるのです。展開型ゲームにおけるプレイヤーの戦略の組み合わせを標準型ゲームの戦略空間の要素に対応させ、展開型ゲームの終点で定まる利得をそのまま標準型ゲームの利得関数として用いることでこの変換が行われます。この変換可能性から、標準型ゲームは同時手番ゲームに限定されるものではなく、展開型ゲームのような逐次手番ゲームの一部も包含する、より一般的な分析の基礎となります。

均衡概念

標準型ゲームの分析における主要な目的の一つは、プレイヤーたちの戦略がどのように落ち着くかを予測することです。この予測される安定した状態を均衡と呼びます。標準型ゲームには、以下のような様々な均衡概念が存在します。

ナッシュ均衡 (Nash Equilibrium)
部分ゲーム完全均衡 (Subgame Perfect Equilibrium) - 展開型ゲームから変換された標準型ゲームで特に重要
ベイジアン・ナッシュ均衡 (Bayesian Nash Equilibrium) - 不確実性のあるゲーム
逐次均衡 (Sequential Equilibrium)
摂動完全均衡 (Trembling Hand Perfect Equilibrium)
合理化可能性 (Rationalizability)
進化的に安定な戦略 (Evolutionarily Stable Strategy)

これらの概念のうち、最も基本的で広く用いられるのがナッシュ均衡です。ナッシュ均衡とは、どのプレイヤーも他のプレイヤーの戦略を所与としたときに、自分の戦略を一方的に変更しても利得を改善できない状態を指します。有限ゲームにおいては、混合戦略の範囲で少なくとも一つのナッシュ均衡が存在することが、ナッシュの定理によって証明されています。

標準型ゲームは、その単純ながらも強力な表現力により、幅広い非協力ゲームの分析において不可欠なツールとなっています。

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