正五胞体

正五胞体（せいごほうたい）

正五胞体は、4次元の正多胞体の一種であり、5つの正四面体から構成されています。これは、2次元における正三角形、3次元における正四面体に相当する4次元の図形です。この五胞体は、その「組合せ的構造」が一種類しか存在せず、全ての五胞体は組合せ同値であるため、正五胞体とみなされます。

性質

正五胞体のシュレーフリ記号は {3,3,3} であり、これによってその幾何学的な性質を示しています。各胞は正四面体、面は正三角形、そして辺は線分として定義されます。次元別の面の数は、組合せ数である 5C(n+1) によって示され、具体的には頂点と胞はそれぞれ5つ、辺と面はそれぞれ10形成されています。これらの数は、パスカルの三角形の第6段の一部に由来します。

頂点形状

この多胞体の頂点形状は正四面体で、各頂点には4つの辺と6つの面、さらに4つの胞が集まります。これらの数は、パスカルの三角形における対応する数とも一致します。座標系においては、(1, 0, 0, 0) の置換に加え、黄金比 φ に基づいた特別な座標形状も含まれます。

辺と面の形状

正五胞体の辺は正三角形で構成され、各辺には3つずつの面と胞が集まっています。面の形は線分であり、各面には2つの胞が結合しています。これらはパスカルの三角形の異なる段に基づいています。

自己双対性

正五胞体は自己双対多胞体としても知られ、他の4次元正多胞体の中で自己双対性を持っているのは、正五胞体と正二十四胞体のみです。この点で、自己を反映する性質を持っていると言えます。

ペトリー多面体

正五胞体の関連として、ペトリー多面体という概念がありますが、これは正八面体に相当します。一般的な正単体のペトリー多胞体においては、正軸体として表され、正四面体の場合は正方形に対応しています。

展開図と計量

正五胞体の展開図は、ダ・ヴィンチの星型で作成することが可能です。その他の形状についても表現できます。計量に関しては、辺の長さを a とし、以下のように表されます。

• - 超体積: \( \frac{\sqrt{5}}{96} a^{4} \approx 0.023292375 a^{4} \)
• - 超表面積: \( \frac{5\sqrt{2}}{12} a^{3} \approx 0.589255659 a^{3} \)

これらの式は、多様な応用の基礎となる重要な性質を示しています。正五胞体は、数学や物理学においてもその特異な構造から研究され、興味深い対象とされています。

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