正軸体

正軸体：高次元の正多胞体

正軸体（せいじくたい、英: cross-polytope）は、様々な次元における正多胞体の総称です。私たちがよく知る図形を例にとると、2次元空間における正方形、3次元空間における正八面体、そして4次元空間における正十六胞体が、それぞれ正軸体に該当します。 これらの図形は、高次元へと一般化された形として捉えることができます。

ただし、定義によっては0次元正軸体を点、1次元正軸体を線分と表現することもありますが、これらは正軸体一般の性質の一部を満たさないため、多くの場合、0次元と1次元には正軸体は存在しないとされます。n次元正軸体は、βn（ベータn）とも表記されます。

正軸体は、正単体と超立方体（正測体）と共に、5次元以上の空間における3種類の正多胞体の1つとして重要な位置を占めています。

正軸体の作図

正軸体の作図は、座標を用いることで容易に行うことができます。例えばn次元正軸体の場合、座標 (±1, 0, 0, ..., 0)とその巡回置換を頂点として設定します。そして、距離√2で最も近い2点を辺で結び、最も近い3点を面で結び、さらに高次元の面へと構成していきます。m+1個の頂点がm次元面を構成します。

この作図方法は、超立方体の双対図形を作図する方法と本質的に同じです。これは、正軸体が超立方体の双対であることを示唆しています。また、n次元ユークリッド空間 Rⁿ を用いても、正軸体を定義することができます。

正軸体の性質

以下では、辺の長さがaであるn次元正軸体(n ≥ 2)の性質について説明します。

超体積: n次元正軸体の超体積は、特定の公式によって計算されます。（具体的な公式は省略）
超表面積: 同様に、超表面積も特定の公式で計算できます。（具体的な公式は省略）
ファセット: (n-1)次元面（ファセット）は(n-1)次元正単体になります。一般的に、m次元面(0 ≤ m ≤ n - 1)はm次元正単体となります。例えば、正十六胞体（4次元正軸体）の面（2次元面）は正三角形（2次元正単体）、胞（3次元面）は正四面体（3次元正単体）です。m次元面の超体積は、正単体の超体積の公式を用いて計算可能です。（具体的な公式は省略）
対角線の長さ: 作図方法から明らかなように、対角線の長さは全て一定で、互いに直交します。（具体的な公式は省略）
次元面の個数: m次元面(0 ≤ m ≤ n - 1)の個数は、特定の組み合わせの公式で計算できます。（具体的な公式は省略）これはパスカルのピラミッドと関連しており、幾何学的な解釈も可能です。特に、頂点（0次元面）は2ⁿ個、ファセット（(n-1)次元面）は2n個です。
双対多胞体: 正軸体の双対多胞体は超立方体です。

これらの性質を理解することで、正軸体の幾何学的構造をより深く理解することができます。パスカルの三角形やピラミッドとの関連性も、正軸体の性質を理解する上で重要な要素です。正軸体は、数学、特に幾何学において重要な概念であり、多様な応用が考えられます。

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