正準変換

ハミルトン力学における正準変換

ハミルトン力学において、正準変換とは、系の運動を記述する正準変数（一般化座標と一般化運動量）を新たな正準変数へと変換する操作です。この変換後も、新たな正準変数はハミルトンの運動方程式を満たします。

正準変数の役割: ハミルトン力学では、一般化座標 $q_i$ (i=1,…,n) とそれに対応する一般化運動量 $p_i$ (i=1,…,n) の組が正準変数 (q, p) = ($q_1$, …, $q_n$; $p_1$, …, $p_n$) として、系の状態を決定する独立変数となります。 正準変換によって、これらの変数は互いに混ざり合う可能性があり、座標と運動量は等価な役割を果たすことになります。

ハミルトンの運動方程式: 系の運動は、正準変数と時間 t の関数であるハミルトニアン H(q, p, t) を用いて、以下のハミルトンの運動方程式で記述されます。

$ \dot{q_i} = \frac{\partial H}{\partial p_i} $
$ \dot{p_i} = -\frac{\partial H}{\partial q_i} $

ここで、ドット記号は時間微分を表します。

正準変換の定義: 正準変数 (q, p) を新たな正準変数 (Q, P) に変換する写像 (q, p) → (Q, P) が正準変換であるとは、以下の条件を満たすことを言います。すなわち、新たなハミルトニアン K(Q, P, t) が存在し、変換後の変数もハミルトンの運動方程式を満たすこと、つまり

$ \dot{Q_i} = \frac{\partial K}{\partial P_i} $
$ \dot{P_i} = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} $

が成り立つということです。しかし、この定義だけでは範囲が広すぎるため、通常はポアソン括弧を不変に保つ変換に限定されます。

母関数による正準変換の構成: 正準変換を構成する一般的な方法は、母関数を利用する方法です。ハミルトンの運動方程式は、作用の変分が最小になるというハミルトンの原理から導かれます。この原理から、新旧の正準変数とハミルトニアンの間には以下の関係が導かれます。

$ \sum_{i=1}^{n} p_i \dot{q_i} - H(q, p, t) = \sum_{i=1}^{n} P_i \dot{Q_i} - K(Q, P, t) + \frac{d}{dt}W $

ここで、W = W(q, p, Q, P, t) は新旧の正準変数と時間の任意の関数です。この W を母関数と呼びます。独立変数の選び方によって、4種類の母関数が存在します。

母関数の種類: 4種類の母関数 (W1, W2, W3, W4) はそれぞれ独立変数として (q, Q), (q, P), (Q, p), (p, P) を選び、ルジャンドル変換を用いることで得られます。それぞれの母関数と新旧の正準変数、ハミルトニアンの関係式は複雑なため、ここでは割愛します。

正準変換の性質: 正準変換は幾つかの重要な性質を持ちます。

ポアソン括弧の不変性: ポアソン括弧は正準変換で不変に保たれます。
群構造: 正準変換の集合は群を成します。すなわち、恒等変換が存在し、逆変換も正準変換であり、2つの正準変換の合成も正準変換となります。

微小正準変換: 微小正準変換は、正準変数を微小量だけ変化させる変換です。この変換は、母関数に微小量 ε を含む項を追加することで表現できます。任意の力学量 F の微小正準変換による変化はポアソン括弧を用いて表現できます。

例: 恒等変換、一般化座標と一般化運動量の交換、1次元調和振動子、ゲージ変換など、様々な例が正準変換として挙げられます。

リウヴィルの定理: リウヴィルの定理は、相空間の体積要素が正準変換の下で不変であることを主張する定理です。時間発展も正準変換の一種であるため、この定理は系の時間発展における相空間体積の保存を意味します。

ハミルトン-ヤコビ方程式: 新しいハミルトニアンがゼロとなる正準変換を考えることで、ハミルトン-ヤコビ方程式が導かれます。これは、正準変換の母関数に関する1階の偏微分方程式です。

幾何学的観点: 幾何学的には、正準変換はシンプレクティック多様体のシンプレクティック同相写像に対応します。

正準変換は、ハミルトン力学における重要な概念であり、複雑な系の解析を簡略化するために広く利用されています。特に、ハミルトン-ヤコビ方程式は、系の積分可能な場合に解を求めるための強力なツールとなります。

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