正規直交系

正規直交系：線形代数と関数解析における基礎概念

線形代数学と関数解析学において、正規直交系は重要な役割を果たす概念です。本記事では、正規直交系の定義から性質、具体的な例、そしてその構成法までを詳細に解説します。

直交系

内積を定義できるベクトル空間（内積空間）Vにおいて、ベクトルの集合{xn}が互いに直交する場合、すなわち任意のm≠nに対して内積⟨xm, xn⟩=0が成り立つとき、{xn}を直交系と呼びます。直交系は、ベクトル空間の基底を構成する際に重要な役割を果たします。

正規直交系

直交系{en}が、さらに各ベクトルのノルムが1に規格化されている、すなわち||en||=1、つまり⟨em, en⟩=δmn (ここでδmnはクロネッカーのデルタ)が成り立つ場合、{en}を正規直交系と呼びます。正規直交系は、直交系よりも扱いやすく、計算が簡略化されるため、様々な場面で利用されます。

完全正規直交系

ヒルベルト空間において、正規直交系{en}が完全系であるとは、任意のベクトルxに対して、⟨x, en⟩=0が全てのnについて成り立つならば、x=0となることを意味します。この性質を持つ正規直交系を完全正規直交系または正規直交基底と呼び、CONSと表記されます。完全正規直交系では、任意のベクトルxを次のように展開することができます。

x = Σn⟨x, en⟩en

この展開は、フーリエ級数展開の基礎となる重要な概念です。無限級数の場合は、ノルムに関する収束を意味します。

任意のヒルベルト空間には完全正規直交系が存在し、可分なヒルベルト空間には高々可算個の要素からなる完全正規直交系が存在します。

完全正規直交系の性質

完全正規直交系は、以下の同値な性質を持ちます。

1. {en}が完全正規直交系である。
2. {en}の一次結合全体がヒルベルト空間Hで稠密である。
3. 任意のx∈Hに対して、x = Σn⟨x, en⟩enが成り立つ（フーリエ級数展開）。
4. 任意のx∈Hに対して、||x||² = Σn|⟨x, en⟩|²が成り立つ（リース・フィッシャーの等式）。
5. 任意のx, y∈Hに対して、⟨x, y⟩ = Σn⟨x, en⟩⟨en, y⟩が成り立つ（パーセバルの等式）。

正規直交系の例

完全正規直交系の例

自乗総和可能数列空間の基底: l²空間における、n番目の成分のみが1で他が0の数列{en}は完全正規直交系です。
三角関数系: 区間[-π, π]上のL²( [-π, π] )空間において、{1/√(2π), cos(nπt)/√π, sin(nπt)/√π}(n=1,2,...)は完全正規直交系です。

完全系でない例

正弦関数系: 区間[-π, π]上のL²( [-π, π] )空間において、{sin(nπt)/√π}(n=1,2,...)は正規直交系ですが、完全系ではありません。偶関数を展開できません。
ラーデマッハ関数系: 区間[0, 1]上のL²([0, 1])空間において、ラーデマッハ関数の集合は正規直交系ですが、完全系ではありません。

正規直交化法

グラム・シュミットの正規直交化法を用いることで、線形独立なベクトルの集合から正規直交系を構成することができます。これは、既存のベクトルを直交化し、さらにノルムを1にすることで正規直交系を構築する方法です。

直交多項式の例

グラム・シュミットの正規直交化法を用いることで、様々な直交多項式系を構成できます。代表的な例として、ルジャンドル多項式、エルミート多項式、ラゲール多項式などがあります。これらの多項式は、それぞれ異なる重み関数を持つ内積空間において正規直交系を形成します。それぞれの多項式の具体的な定義式や性質については、専門書を参照ください。

まとめ

正規直交系は、線形代数と関数解析学における基礎的な概念であり、フーリエ級数展開や様々な関数近似の基礎となります。本記事で紹介した定義、性質、例を用いて、正規直交系に対する理解を深めていただければ幸いです。より詳細な内容については、関連文献を参照ください。

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