水道方式

水道方式とは

水道方式は、1958年頃に数学者の遠山啓（とおやま ひらく）氏と銀林浩（ぎんばやし ひろし）氏を中心に創始された算数教育理論です。この理論は、計算の最も基本的な概念や手順を、子どもたちが効率よく、かつ深く理解できるようにすることを目的としています。特に、暗算ではなく筆算を、より基礎的で将来にわたる発展性を持つ計算方法として重視した点に特色があります。

この教育法の名称は、基本的な計算操作である「素過程」を習得した後、最も一般的で典型的な計算パターンを「水源地」と見立て、そこから「一般から特殊へ」という原則に従って、様々な計算パターンに対応するドリルを指導していく流れを、水道管が水源から分岐して各家庭へ水を供給する様子に喩えて名付けられたとされています。

水道方式に含まれる多様な要素

水道方式は、単なる計算ドリルの集合体ではなく、以下のような多岐にわたる考え方や手法を含んだ包括的な教育アプローチです。

命名の背景: 素過程から水源地、一般から特殊への流れ。
一般から特殊への原則: 計算パターンを分類・配列する際の基本方針。
タイルのシェーマ: 正方形のタイルを用いた位取りや量の視覚化。
五・二進法: 一位数の足し算指導における補助的な考え方。
1あたり量: 量の概念理解。
量の理論: 内包量と外延量の区別。
カンヅメとビンヅメ: 具体的な教材・教具のアイデア。
筆算重視: 計算体系の根幹。

これらの要素を通じて、水道方式は計算の原理を深く理解させることを目指しますが、ときにその内容が誤解されることもあります。

タイルによる位取り指導

水道方式の大きな特徴の一つは、正方形の「タイル」を使った10進法の指導です。1の大きさを小さな正方形タイルで表し、これが10個集まると「十が1本」として細長い長方形になります。さらに、この「十が1本」が10本集まると、100個のタイルでできた大きな正方形の塊となり、「百が1枚」と数えます。例えば、「234」という数は、「百が2枚、十が3本、1が4個」というように、タイルの具体的な組み合わせで視覚的に表現され、位取りの仕組みを理解させます。

遠山氏は、タイルが優れている点として、つなげたり切ったりが容易なため、離散量だけでなく連続量も表現できること、また、1つのタイルを分割することで分数や小数を表せることを挙げています。

空位「0」の理解を深める

位取りの原理を習得する上で、空位を示す「0」の理解は極めて重要だと遠山啓氏は考えました。「なぜ13を103と書いてはいけないのか」といった疑問に子どもが答えられるようにするためには、「0」が「その位に数がない状態」を表すことを明確に教える必要があるとしました。具体的には、容器を使って数を理解させ、空っぽの容器で「0」を示す方法が提案されました。ただし、「0」には割り算の余りとしての意味合いもあるため、指導には慎重さが求められます。

また、和算で使われた算木や算盤（マス目の盤）にも位取りの考え方が見られることから、遠山氏はタイルの指導から位取りを経て算盤へ、そして珠算へとつながる学習ルートを構想していた可能性が、その著作からうかがえます。

筆算を中心とした計算体系

水道方式の根幹は、筆算を重視する計算指導方法にあります。遠山氏は、暗算には限界があるのに対し、筆算は記憶に頼らず、確実に答えを導き出し、検算も可能であることから、筆算を早期に教えるべきだと主張しました。易しい筆算から始めて徐々に慣れさせ、最終的に暗算ができるようになるのが自然な流れであり、暗算は筆算が省略された形だと教えるべきだとしました。この筆算中心のアプローチにより、子どもは計算練習に過剰なエネルギーを費やすことなく、他の学習に余力を振り向けられると考えられました。

計算指導の原則としては、「一般から特殊へ」の考え方に基づき、以下の3点が挙げられています。

1. 複雑な思考過程や演算を、最も単純な「素過程」に分解する。
2. 素過程を組み合わせて、最も一般的で典型的な「水源地」となる複合過程を設定する。
3. 典型的な複合過程を特殊化、あるいは退化させて、あらゆる計算パターンに対応できるようにする。

計算問題の分類と指導の流れ

水道方式では、膨大な計算パターンを効率的に指導するため、原則に基づいた分類と配列を行います。例えば、足し算の場合、繰り上がりのないものを先に扱い、「0」が含まれるものは後に回すなど、標準的な型から徐々に型崩れの問題へと進めていきます。

一位の自然数の足し算（素過程）の指導では、「足して5未満になる数」「足して5になる数」といった基本的な型を最初に押さえ、そこから繰り上がりや空位の0を含む問題へと発展させます。この過程で、五・二進法的な考え方（5を基準とした数の見方）が補助的に用いられることもあります。指導の順番については、より簡潔な分類方法（「2-9分類法」など）も提案されています。

整数の足し算では、筆算の形を徹底させます。3桁+3桁のような計算も、タイルの操作に対応させながら、各位の素過程（1桁+1桁）の組み合わせとして捉えさせ、これらの素過程を徹底的に習得することが強調されます。複合過程の指導では、「22+22型」のような、全ての位が揃い基本操作を含む「水源地」から学習を始め、その後「22+20型」「20+22型」「22+2型」といった「0」を含む特殊な型や、「29+29型」「29+9型」のような繰り上がりを含む型へと進みます。

引き算、かけ算、割り算についても同様に、「一般から特殊へ」の原則に基づき、素過程の習得と複合過程の型分け指導を行います。割り算では特に「立てる・かける・ひく・おろす」という「割り算の4拍子」を習得させます。水道方式では、この4拍子が全て揃う「余りが出る割り算」を先に教え、余りが0になる場合は特殊な型と見なすことがあります。

割り算の筆算方法に関しては、位取りの原理を重視する水道方式の「長除法」に対し、暗算を多用する「短除法」を推す立場との間で、過去に教育方法を巡る対立も生じました。

分数と小数の扱い

分数や小数の指導においてもタイルが活用されます。小数は、1のタイルを10等分、100等分したものを使って位取りと同様に理解させます。分数は、1のタイルを等分し、そのいくつ分かを集合として捉えることで、概念の導入を図ります。同じ分母の分数の足し算なども、タイルを合わせる操作に対応させて説明します。

ただし、「全体を1としたときの割合」としての割合分数は、子どもにとって非常に難しいとして、遠山氏はこれを算数教育における課題と捉えていました。この点については、後に新居信正氏らが研究を進め、授業プランを開発しています。

実践結果と評価

水道方式の理論は、提唱以来、全国各地で実践されてきました。遠山氏によれば、その実験結果として、多くのクラスで算数の平均点が向上する効果が見られたとされています。

水道方式の提唱者たちは、これを数学教育の全てとは考えていないとしつつも、無理論であったドリル領域に理論的裏付けを与え、算数教育の近代化に貢献した点をその意義として強調しています。

一方、当時は水道方式の筆算重視のアプローチに対し、暗記中心の教育を支持する立場からの強い反発もあり、教科書採択などを巡って激しい対立が生じたことも歴史的な事実として知られています。

主な研究者と関連文献

水道方式の提唱者である遠山啓氏、銀林浩氏の他に、新居信正氏（徳島県の小学校教師）がその研究者として挙げられます。新居氏は特に分数の指導法について深く研究し、水道方式の考え方を応用した授業書を作成しました。彼は、教育研究が表面的なレッテル貼りに陥りがちな当時の状況を批判し、理論と実践に基づく研究の重要性を訴えました。

水道方式に関する教材としては、遠山啓氏監修の『わかる さんすう』シリーズや、『さんすうだいすき』などが挙げられます。また、数学教育協議会や仮説社からも関連する書籍やドリルが出版されています。

水道方式は、その理論的な体系に基づいた計算指導法として、現代の算数教育にも影響を与え続けている重要な考え方の一つです。

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