渦巻

渦巻（うずまき）とは

渦巻は、中心から旋回しながら遠ざかる（あるいは逆に中心に近づく）曲線のことで、主に平面上で見られますが、曲面上にも定義できます。渦巻線とも呼ばれ、螺旋と混同されることもありますが、厳密には異なります。自然界では、気体や液体の動き、植物の蔓などに見られ、数学的な記述も可能です。

数学的記述

渦巻は、極座標で記述すると簡潔に表現できることが多いです。極座標では、中心からの距離rが、角度θの関数として表されます。具体的には、r = f(θ)という形式で、rがθの単調増加関数または単調減少関数として記述できます。

デカルト座標では、角度を媒介変数として表すことで、渦巻を表現できます。これにより、渦巻の形状をより詳細に解析することが可能です。

渦巻の例

代表的な渦巻には、以下のようなものがあります。

アルキメデスの螺旋
式：r = a + bθ
特徴：線が等間隔で広がる渦巻。

フェルマーの螺旋
式：r = ±a√θ (r² = a²θ)
特徴：原点で滑らかにつながる2本の螺旋からなる渦巻。

双曲螺旋
式：r = a/θ (rθ = a)
特徴：有限の巻き数で無限遠点に発散し、y = aに漸近する渦巻。

リチュース
式：r = a/√θ (r²θ = a²)
特徴：有限の巻き数で無限遠点に発散し、x軸に漸近する渦巻。

対数螺旋
式：r = ab^θ
特徴：角度が一定で、自らを拡大縮小したものが合同になる渦巻。黄金比に関連するものは黄金螺旋と呼ばれます。

これらのうち、代数式で表せるものを代数螺旋といい、アルキメデスの螺旋などが該当します。

渦巻と螺旋の違い

渦巻（スパイラル）は、2次元の曲線で、中心から旋回しながら遠ざかる形を指します。一方、螺旋（ヘリックス）は3次元の曲線で、旋回しながら垂直方向にも進む形です。身近な例では、螺旋階段やネジの溝が螺旋に該当します。

ただし、英語では螺旋をスパイラルと呼ぶことも多く、両者の区別が曖昧になることがあります。例えば、螺旋階段は英語で「spiral staircase」とも呼ばれます。一方で、数学的な渦巻は英語ではスパイラルと呼ばれます。

曲面上の渦巻

地球上での等角航路は、球面上の渦巻（対数螺旋）となります。また、巻貝の貝殻も円錐面上の渦巻（対数螺旋）の一例です。これらの曲面を円筒面に近づけていくと、極限では螺旋となります。

渦巻の例

身の回りには、さまざまな渦巻が見られます。

アンモナイトやオウムガイ、巻貝の貝殻
レコードやCDのトラック
蚊取り線香
鳴門巻の模様
ヴォリュート
渦巻銀河の腕
惑星や衛星の軌道
指紋の渦状紋
流体の渦、台風、竜巻、旋風、渦潮

渦巻き残効

渦巻の図形を回転させると、渦の巻く方向と図形の回転方向によって、渦巻が拡大または縮小して見える現象を渦巻き残効と言います。

渦巻の象徴

渦巻は、力動的な回転の象徴として使われ、古代文明では冥界や死と再生の循環の象徴とみなされてきました。そのため、古墳などにもしばしば描かれています。

まとめ

渦巻は、自然界や数学、そして文化の中で、さまざまな形で現れる興味深い曲線です。その多様な形状や特性を理解することで、より深く世界を捉えることができるでしょう。

もう一度検索