測度の緊密性

緊密性の概念

数学の測度論において、緊密性（tightness）は重要な特性の一つとされており、ある測度の全体が無限大に逃げないという直感的な意味を持ちます。この概念は、特に確率測度の収束において重要です。

緊密性の定義

位相空間
(X, T)において、σ-代数Σが開集合を含む場合、全体Mが緊密であるとは、任意のε > 0に対して、X内にコンパクトな部分集合Kεが存在し、全ての測度μに対して以下の条件が成り立つことを意味します。

$$
|
u|(X ackslash K_{ ext{ε}}) < ext{ε}
$$

ここで、|
u|は測度μの全変動を指します。確率測度の場合、この条件は次のように書き換えられます。

$$
μ(K_{ ext{ε}}) > 1 - ext{ε}
$$

このように定義された緊密な全体が単一の測度μのみで構成される場合、そのμは緊密測度または内部正則測度と呼ばれます。また、確率変数Yが緊密測度上に分布している場合、それは可分確率変数またはラドン確率変数とされます。

緊密性の例

コンパクト空間

距離化可能なコンパクト空間においては、任意の測度の全体が緊密です。しかし、距離化不可能なコンパクト空間になるとこの性質が成り立たない場合もあります。例えば、空間[0, ω1]のように、内部正則ではない測度が存在する場合があります。

ポーランド空間

ポーランド空間では、全ての確率測度は緊密であることが知られています。更に、プロホロフの定理により、確率測度の全体が緊密であるための条件は、その測度が弱収束位相においてプレコンパクトであることとされています。

点質量の全体

実数直線R上の決まった点での質量を持つディラック測度の場合、特定の全体が緊密であるかはその集合の特性に依存します。例えば、点質量を持つνの集合M1は緊密でない一方で、別の集合M2は緊密であることが確認されています。

ガウス測度の全体

n次元ユークリッド空間におけるガウス測度の全体についても、緊密性が重要な属性です。十分な条件として、期待値と分散が共に有界であることが求められます。

緊密性と収束

緊密性は、確率測度の列の弱収束を証明するための必要条件として働くことがあります。特に無限次元の測度空間においてこの性質が顕著です。

指数緊密性

緊密性の一般化として、指数緊密性も注目されています。あるハウスドルフ位相空間における確率測度の族が指数的に緊密であるとは、任意のη > 0に対して特定の条件を満たす必要があります。

参考文献

• - Billingsley, P. (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley & Sons.
• - Billingsley, P. (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons.
• - Ledoux, M., & Talagrand, M. (1991). Probability in Banach spaces. Berlin: Springer-Verlag.

このように、緊密性は測度論や確率論において基礎的かつ重要な概念であり、さまざまな場面で応用されることがよくあります。

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