無限次元空間における不動点定理

無限次元空間における不動点定理

数学の分野において、不動点定理は重要な役割を果たしており、特に無限次元空間に関する定理は多様な応用を持っています。これらの定理は、偏微分方程式の解の存在を示すための証明に利用されることが多く、数学の発展に寄与しています。

この分野の初期の成果として、1930年にユリウス・シャウダーが証明したシャウダーの不動点定理があります。これは、無限次元空間における不動点の存在を示す重要な結果です。シャウダーの定理の前にも、1922年に証明されたバナッハの不動点定理が存在していますが、これは完備距離空間における縮小写像に対する結果です。

シャウダーの不動点定理

シャウダーの不動点定理は次のように定式化されます。バナッハ空間Vの空でない閉凸部分集合Cに対して、CからCへの連続関数fがコンパクトな像を持つ場合、fは不動点を有するというものです。この結果は、無限次元の設定で連続写像の性質を結びつけるものであり、数学の様々な場面で利用されています。

チホノフの不動点定理

次に、チホノフの不動点定理が挙げられます。この定理は、局所凸位相ベクトル空間Vに対し、任意の空でないコンパクト凸集合Xにおいて、任意の関数f: X → Xが不動点を持つことを示しています。これもまた、無限次元の問題を扱ううえで重要な定理です。

その他の不動点定理

無限次元空間における他の重要な結果として、マルコフ＝角谷の不動点定理があります。これは1936年から1938年の間に証明され、局所凸空間のコンパクトな凸部分集合からその自身への写像が、不動点を持つ条件を示しています。また、リル＝ナウゼウスキの不動点定理（1967）やアール＝ハミルトンの不動点定理（1968）なども、連続自己写像に関する重要な結果です。

定理の意義

これらの不動点定理が持つ数学的意義の一つは、代数的位相幾何学の手法を無限次元空間に拡張することが可能である点です。特に、層論を発見したジャン・ルレイの研究は、シャウダーの業績を基にして進められました。このように、無限次元空間における不動点に関する理論は、様々な数学の分野や応用、さらには新たな理論の構築に深く関与しています。

これらの研究は、数学の基礎を支える重要な要素であり、今後も続く研究や応用の場において、その価値を認識され続けることでしょう。

関連文献

多くの参考文献が存在し、以下の書籍が特に有名です。

• - Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981)
• - Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York
• - William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001)

無限次元空間の不動点定理は、数学の美しさと深さを示しており、あらゆる分野における問題解決に活用されています。

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