特異測度

特異測度とは

数学の測度論において、「特異測度」とは、二つの正または符号付の測度が互いに影響を及ぼさない特別な性質を持つことを指します。具体的には、可測空間 (Ω, Σ) において、測度 μ と ν が特異であるとは、Σ 内の二つの互いに素な集合 A と B が存在し、A の可測部分集合上では ν がゼロであり、B の可測部分集合上では μ がゼロとなる状況を意味します。この関係は通常、記号 μ ⊥ ν で示されます。

特異測度の重要性

特異測度の概念は、特に確率論や統計学、さらには物理学において重要です。測度論は、直感的な「大きさ」や「量」を形式的に扱うための手法であり、特異測度は異なる測度の間の関係を理解する上で欠かせません。この概念は、ルベーグの分解定理から派生したものです。この定理では、特異測度を特異連続測度と離散測度に分類します。

特異測度の例

ユークリッド空間における特異測度

ユークリッド空間 R^n での特異測度の例として、ディラックのデルタ関数が挙げられます。デルタ関数は特定の点に質量を持つ測度であり、その特異性はルベーグ測度に対して明確に現れます。

離散測度の例

実数直線上において、ヘヴィサイドの階段関数 H(x) は以下のように定義されます。

H(x) =
{
0, x < 0;
1, x ≥ 0;
}

この関数はその分布的導関数としてディラックのデルタ関数 δ_0 を持ち、実数直線上の測度として0で点質量を示します。特に、ディラック測度 δ_0 はルベーグ測度 λ に対して絶対連続ではありません。そのため、λ({0}) = 0 であるのに対し、δ_0({0}) = 1 となります。また、任意の空でない開集合 U が0を含まない場合、λ(U) > 0 ですが、δ_0(U) = 0 です。

特異連続測度の例

カントール分布も特異測度の一例です。カントール分布は連続ですが、絶対連続ではなく、その絶対連続部分はゼロです。このため、カントール分布は特異連続測度として分類されます。

関連項目

• - ルベーグの分解定理
• - 絶対連続
• - 特異分布

参考文献

• - Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
• - J Taylor, An Introduction to Measure and Probability, Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目singular measure の本文を含みます。

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