独立増分過程

加法過程について

加法過程とは、確率過程の一種であり、その主な特徴は独立増分性です。この概念は、ポール・ピエール・レヴィやアレクサンドル・ヒンチンといった数学者により詳しく探求されてきました。加法過程の代表例としてウィーナー過程（またはブラウン運動）が挙げられます。

定義

加法過程は、以下の条件を満たす確率過程として定義されます。まず、確率空間
(Ω, F, P) において、実数値を持つ確率過程 X = {X_t}_{t ≥ 0} が加法過程であり、以下の条件を満たさなければなりません。
1. 初期条件: X_0 = 0 がほぼ確実に成り立つこと。
2. 確率的連続性: 任意の t ≥ 0、および ε > 0 に対して、


\lim_{h \to 0} P(|X_{t+h} - X_t| > ε) = 0


が成り立つ。
3. 左極限を持つ右連続性: 確率空間内の特定の部分集合 Ω_0 が存在し、任意の ω ∈ Ω_0 に対して、関数 X_t(ω) は右連続であり、左極限を持つこと。
4. 独立増分性: 任意の n = 1, 2, … に対して、0 ≤ t_0 < t_1 < ... < t_n < ∞ ならば、


X_{t_0}, X_{t_1} - X_{t_0}, ..., X_{t_n} - X_{t_{n-1}}


が互いに独立であること。

これらの性質は、確率過程の理解において重要な役割を果たします。

レヴィ過程

加法過程の一部として、レヴィ過程が存在します。レヴィ過程は加法過程の条件に加え、以下の条件も満たす必要があります。任意の s ≥ 0 に対して、


X_{t+s} - X_t


の分布が t に依存しないこと、これは時間的一様性または定常増分性と呼ばれます。

このような過程は、確率論や数学的ファイナンス、さらには物理学などの分野において重要な応用が見られます。

関連項目

加法過程と関連する概念には自己相似過程、非整数ブラウン運動、ガウス過程、マルコフ過程、確率微分方程式などがあります。これらはそれぞれ独自の特性を持ち、確率過程の研究において重要なテーマとなっています。数学的な理論や実際の応用において、これらの過程の理解は不可欠です。

参考文献

• - Khintchine, A. “A new derivation of a formula by P. Lévy.” Bulletin of Moscow State University, No. 1, 1–5.
• - Lévy, P. “Sur les intégrales dont les éléments sont des variables aléatoires indépendentes,” Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) 3, 337–366.

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