独立性 (数理論理学)

数理論理学における独立性の概念

数理論理学では、特定の文が他の文の集合から証明できない状態を「独立性」と呼びます。この独立性は、命題がある理論に対して証明も反証もされないことを意味しており、特に「公理系」として知られる一連の命題が関与しています。具体的には、文 σ が一階の理論 T から独立であるとは、T が σ を証明または反証することができないことを指します。このようなσは、時に「決定不能」とも表現されることがありますが、これは計算機科学において言及される「決定可能性」とは異なります。

理論 T の独立性

理論 T の内部にあるすべての公理が、他の公理から証明できない場合、その理論は「独立である」と考えられます。したがって、独立した公理の集合を持つ理論は、独立的に公理化されることが可能です。このような独立性は、数理論理学の根幹をなす重要な特徴の一つです。

用語の要注意

著者によっては、文 σ が T から独立であるという表現を用い、T が単に σ を証明しないことに留まる場合があります。このように記述されることもあり、T が σ を反証できる必要がないとは仮定されないこともあります。これを示す際に、著者は「σ は T と独立であり矛盾しない」と表現することもあります。

集合論における独立性の事例

集合論において驚くべき独立性の結果があることが知られています。特に、ツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) の下では、多くの命題が独立であると言われています。たとえば、以下の公理は ZF の無矛盾性を前提にした場合に独立であることが知られています:

• - 選択公理
• - 連続体仮説および一般連続体仮説
• - ススリン仮説

また、次の命題は ZFC（ZF に選択公理を加えたもの）の下で証明されていないため、ZFC から独立であることが証明できません:

• - 強到達不能基数の存在
• - 巨大基数の存在
• - クレパ木の不存在

さらに、これらの命題は選択公理と矛盾するため、ZFC とも矛盾します。しかし、前述の通り、ZF からも証明できない状態にありますが、ZF の無矛盾性を仮定しても、現在の集合論者がこれを反証できると期待することはほとんどありません。

その中に含まれる命題には以下のものがあります:

• - 決定性公理
• - 実数決定性の公理
• - AD+

現代物理学における独立性の役割

2000年代以降、論理的独立性は物理学の基礎を成す重要な概念であると広く認識されるようになりました。数理論理学の理論と物理学との相互作用についての研究が進む中、独立性がどのように物理学の法則や理論に影響を及ぼすかが注目されています。

関連項目

• - ZFCから独立な命題の一覧
• - 平行線公準

参考文献

• - Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), London: Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-80830-2
• - Monk, J. Donald (1976), Mathematical Logic, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90170-1
• - Stabler, Edward Russell (1948), An introduction to mathematical thought, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley

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