球充填

球充填（きゅうじゅうてん）

球充填は、特定の空間に複数の球を配置する際に、それらが互いに重なり合わないように並べる問題を指します。最も典型的には、同じ大きさの球を3次元のユークリッド空間に詰め込む状況を考慮しますが、この概念は球のサイズが均一でない場合や、2次元平面（この場合は円の充填）、さらには4次元以上の高次元空間における「超球」、あるいはユークリッド空間とは異なる性質を持つ双曲空間など、多様な設定へと拡張されます。この問題は、純粋数学のみならず、物理学、化学、材料科学、情報科学など、多岐にわたる分野で重要な意味を持ちます。

球充填研究の中心課題は、与えられた空間において、最も高密度に球を詰め込む最適な配置を発見することにあります。ここでいう「充填密度」とは、空間全体のうち球が占める体積（または面積、長さ）の割合を示します。無限に広がる空間での充填を考える場合、局所的な密度は場所によって変動するため、通常は空間全体の平均密度を最大化すること、あるいは十分に大きな領域での密度が漸近的に最大となる配置を求めることが目標となります。例えば、3次元空間に等しい大きさの球を配置する場合、最も密な配置は約74%の密度を達成します。これに対し、無作為に球を詰め込んだ場合の密度は約64%程度、実験的に得られる最も疎な充填では5.5%程度の密度が確認されています。

球充填の分類

球の配置は、その規則性によって主に二つのタイプに分類されます。

正規配置（規則充填、周期充填、格子充填）: 球の中心が、結晶構造のように極めて対称的な格子パターンを形成する配置です。このような配置は、その高い対称性から数学的な解析が比較的容易であり、分類や密度の計算が進んでいます。
非正規配置（不規則充填、非周期充填）: 球の中心が格子状に配列されていない配置です。正規配置に比べてその性質を解析することは難しくなります。

2次元空間における円充填

3次元の球充填問題の類推として、2次元ユークリッド空間、つまり平面における円の充填問題があります。これは「円充填」と呼ばれます。等しい大きさの円を平面に配置する際に、最も密度の高い正規配置は六方充填配置であることが、カール・フリードリヒ・ガウスによって証明されました。この配置では、円の中心が六方格子を形成し、各円は周囲の6つの円と接しており、その充填密度は約0.9069となります。さらに、1940年にはハンガリーの数学者ラースロー・フェイェシュ＝トートが、この六方格子配置が正規配置だけでなく、非正規配置を含めたあらゆる円充填の中で最も高い密度を持つことを証明しました。

円充填の概念は、大きさが異なる複数の円を組み合わせた平面充填へと一般化されることもあり、これは等角写像やリーマン面の研究に関連しています。

3次元空間における正規充填

3次元ユークリッド空間において、等しい大きさの球を最も密に詰め込む配置は、「最密構造」と呼ばれる配置族を構成します。この構造を構築する一般的な方法の一つは、平面上に球を密に並べた層を積み重ねていくことです。例えば、密に並んだ3つの球に囲まれた凹みに次の球を置くようにして第二層を作ります。第三層を配置する際には、第一層と同じ位置に球を置くか、第一層の凹みのうち第二層が使用していない位置に置くかの選択肢があります。これらの層の配置には3種類のパターンがあり、それぞれをA、B、Cと区別することができます。

この最密構造族には、単純な繰り返しパターンを持つ二つの有名な正規格子配置が含まれます。一つは層がABCABC…の順に繰り返される「立方最密充填」（面心立方充填とも呼ばれる）です。もう一つは層がABAB…と交互に繰り返される「六方最密充填」です。これら以外にも、ABAC、ABCBAなど、様々な層の組み合わせが可能ですが、これらの最密配置の共通点として、どの球も周囲の12個の球と接しており、平均充填密度は約0.74048となります。

ガウスは1831年に、これらの配置が正規配置の中で最も高い密度を持つことを証明しました。そして1611年、ヨハネス・ケプラーは、この最密構造が正規・非正規を含めた全ての球充填の中で最も高い密度を持つと予想しました。この予想は「ケプラー予想」として知られ、長らく未解決でしたが、1998年にトーマス・C・ヘイルズがコンピュータを用いた詳細な計算により、この予想が正しいことをほぼ証明したと発表しました。その後、2014年にはヘイルズらのチームが自動証明検証ツールを用いて完全に形式化された証明を完成させ、ケプラー予想は解決に至りました。

最密充填以外にも、物理系でよく見られる正規格子充填がいくつか存在します。例えば、単純立方格子（密度約0.5236）、体心立方格子（六方格子、密度約0.6046）、ダイヤモンド構造（正方格子、密度約0.3401）などがあります。最も疎な正規格子充填の密度は0.0555です。また、隣接する球が互いを押し合い固定されている状態を「ジャミング」と呼びますが、最も疎なジャミング正規充填は、密度約0.49365の希薄な面心立方格子として知られています。

3次元空間における非正規充填

非正規充填は、特定の規則性を持たない球の詰め込み方を指します。例えば、球を一つずつ無作為に追加し、その後圧縮すると、それ以上の圧縮が困難な「非正規」または「ジャミング」充填状態に到達することがあります。このようなランダムに詰め込まれた非正規充填の密度は、一般的に約64%程度となります。2008年の研究では、解析的にその上限が約63.4%であると示唆されています。

興味深いことに、1次元（線分）や2次元（円盤）の場合、ランダムに配置して圧縮すると最終的には正規充填構造が生成されるのに対し、3次元では正規構造にならない安定な非正規充填が存在します。

高次元空間における超球充填

3次元を超える高次元空間における球、すなわち「超球」の充填問題も活発に研究されています。8次元までの空間では、最も密な正規超球充填構造が発見されていますが、非正規の超球充填についてはまだ不明な点が多いです。驚くべきことに、特定の次元（例えば10次元）においては、現在知られている最も密な非正規充填の方が、既知の最も密な正規充填よりも高い密度を持つことが確認されています。

この分野で近年特筆すべき成果として、2016年にマリナ・ヴィヤゾフスカが8次元空間において、正規・非正規を問わず最適な充填配置がE8格子であることを証明したことが挙げられます。さらにその直後、彼女は共同研究者と共に、24次元空間における最適な充填配置がリーチ格子であることを証明しました。これらの格子は、それぞれの次元でこれまで知られていた配置の中で最も高い密度を持つものでした。ヴィヤゾフスカの証明は、特定の性質を持つ関数をモジュラー関数を用いて巧みに構築し、ポアソン和公式を適用するという独創的な手法を用いており、その簡潔さから専門家から高い評価を受けています。

多種球充填

実際の物理系や化学系では、異なるサイズの球が混合した状態で空間を充填する状況が多く見られます。これは「多種球充填」と呼ばれます。サイズの異なる球が混在する場合、同じサイズの球同士が集まってそれぞれの最密充填構造を作るか、あるいはサイズの異なる球が規則的に配列して、金属間化合物のような侵入型配置を形成するかの選択肢があります。

特に、小さい球が大きい球に比べて十分に小さい場合、大球が最密充填配置をとり、その間にできた隙間（八面体型や四面体型）に小球が収まることができます。このような配置の密度は球の半径比に大きく依存しますが、半径比が非常に小さい場合は、大球の充填密度を損なうことなく小球が隙間に侵入することが可能です。小球の半径が大球の0.41421倍を超えると、最密構造の隙間に単独で収まることが難しくなり、全体の構造が変化することがあります。多種球充填に関しても、可能な最大密度の上界などが研究されています。

化学分野、特にイオン結晶においては、構成イオンの電荷バランス（化学量論）や静電相互作用の最小化といった制約が加わるため、最適な充填構造はさらに多様で複雑になります。

双曲空間における充填

ユークリッド空間とは異なる幾何学的性質を持つ双曲空間においても、円や球の充填は考えられます。しかし、双曲空間では一つの球を取り囲む球の数に上限がないなど、ユークリッド空間とは異なる性質を持つため、最も密な充填配置を見つけることは非常に困難です。双曲空間における最密充填は、ほぼ常に非正規配置であると考えられています。

このような困難さにもかかわらず、K. Böröczkyは2次元以上の双曲空間における球充填密度の普遍的な上限を導き出しました。3次元双曲空間におけるこの上限は約85.327613%であり、これは特定の構造を持つホロ球面充填によって達成される値です。

関連概念

球充填は、グラフ理論、特に接触グラフの概念とも関連しています。充填された球をノード、互いに接している球のペアをエッジとするグラフを考えることで、充填における接触の構造を解析できます。また、超立方体の角を球で充填する問題は、情報を格納する符号語とエラーからの復元を考える誤り検出訂正符号の設計と数学的に対応しており、特定の格子充填は線型符号と関連づけられます。

歴史的には、球充填の概念はカート・ヴォネガットのSF小説『猫のゆりかご』に登場する架空の物質「アイス・ナイン」の説明としても用いられており、人々の想像力を刺激してきました。

球充填の研究は、基礎的な数学理論から、結晶構造の理解、物質の性質予測、データ伝送効率の向上など、広範な応用を持つ、現在も進化し続けている分野です。

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