等角写像

等角写像：角度を保つ幾何学的変換

等角写像とは、平面や空間上の図形を、角度を変えずに変換する写像のことです。言い換えると、図形上の任意の二曲線が交わる角度が、変換後も等しく保たれる写像です。一見、図形が大きく変形したように見えても、微小な部分に着目すれば、元の図形と相似形になっているのが等角写像の特徴です。

等角写像は、数学の複素関数論と密接に関連しており、工学分野、特に流体力学における流体の挙動解析などに広く応用されています。例えば、翼型の周りの空気の流れを解析する際に、等角写像を用いることで複雑な形状の解析を単純化することができます。

複素関数と等角写像

複素平面上の正則関数（微分可能な関数）は、等角写像となります。これは、正則関数の微分係数が、変換後の微小線分の拡大率と方向を示すことから導かれます。具体的には、複素関数w = f(z) によって、z0近傍の2点z1, z2がw0近傍のw1, w2に変換されるとき、正則関数であるならば、以下の関係が成り立ちます。

lim (z1→z0) [(w1-w0)/(z1-z0)] = lim (z2→z0) [(w2-w0)/(z2-z0)] = f'(z0)

この式は、変換前の2点間の角度と変換後の2点間の角度が等しいことを示しています。また、|f'(z)| は微小線分の拡大率を表し、方向によらないことから、角度が保存されていることがわかります。

地図投影法における等角写像

地図投影法において、等角写像を用いたものを正角図法と呼びます。正角図法では、地球上の微小な領域の形状が、地図上で角度を保ったまま投影されます。そのため、地図上の角度を正確に把握する必要がある航海や航空などにおいて特に有用です。

球面からの投影

球面（例えば地球）からの投影は、通常、球座標(φ, λ)から平面座標(x, y)への写像として表されます。この場合、等角写像となる条件は、ヤコビ行列が回転行列のスカラー倍となることです。球面に接する接平面上に直交座標系(ξ, η)をとれば、写像f: (ξ, η) → (x, y) のヤコビ行列が回転行列のスカラー倍となる必要があります。このヤコビ行列は、球座標から平面座標への写像mと、接平面座標から球座標への写像gのヤコビ行列の積で表されます。

回転楕円体からの投影

地球は完全な球ではなく、回転楕円体に近い形状をしています。回転楕円体からの等角投影は、球面の場合よりも複雑で、解析的に求めるのが困難な場合があります。そのため、歴史的には、回転楕円体から球面への等角写像を行い、その後球面から平面への正角図法を用いる二重投影が用いられてきました。

様々な方法が提案されていますが、代表的なものとして、経度を変えずに緯度のみを変換する方法と、経度方向に拡大を行う代わりに緯度方向の縮尺変化を抑える方法があります。前者はグーデルマン関数を使った変換式で表され、後者はガウス正角二重投影と呼ばれ、かつて日本の平面直角座標系（旧座標系）の作成にも用いられました。

回転楕円体から平面への等角写像

現在、日本の平面直角座標系（平成14年国土交通省告示第9号）では、中央子午線の子午線弧長を保存するガウス・クリューゲル図法が採用されています。これは、投影範囲の中央子午線付近では高精度な投影が可能な方法です。他にも、地球楕円体の第三扁平率のみを係数に含む冪級数展開を用いた方法が、公共測量における作業規程や国土地理院の測量計算サイトでも採用されています。地球表面全体を完全に投影するには、ヤコビの楕円関数が必要となります。

等角写像は、地図作成だけでなく、複素関数論、流体力学など、様々な分野で重要な役割を果たしています。その性質を理解することで、複雑な問題をより簡潔に解決できる可能性が広がります。

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