真理関数

真理関数とは

真理関数（しんりかんすう）は、数理論理学における重要な概念で、真理値の変数を使った写像です。具体的には、真理値の集合が「真な命題」と「偽な命題」のみで構成された場合に、入力された真理値に基づいて出力を決定します。これにより、命題の真理値を操作し、論理的な結論を導くことが可能となります。

定義と記号

真理関数を定義する際には、真を示す記号「⋎（curlyvee）」と、偽を示す記号「⋏（curlywedge）」を使用します。ここで、リストLをこれら二つの記号から成る集合とし、nを自然数とすると、n個のLの直積からLへの写像をn変数の真理関数と呼びます。

主な真理関数

1変数の真理関数としては否定を示す「￢」、2変数の真理関数としては論理和の「∨」や論理積の「∧」などがあります。これらは次のように定義されます：
- ￢A は A の否定を意味します。
- A ∨ B はAとBとの論理和を意味します。
- A ∧ B はAとBとの論理積を意味します。

n変数の真理関数は2の2のn乗個存在します。つまり、可能な全ての論理関数の組み合わせが考えられることを示しています。

真理値表

真理関数の動作を明確にするために、真理値表が使用されます。各真理値表は、特定の命題に対する出力を示し、例えば￢の真理値表の第一行は「Aが真なら、￢Aは偽である」ことを示しています。また、AとBの値に基づいてA ∨ BやA ∧ Bがどうなるかも示すことができます。

真理集合

n変数の真理関数Fが与えられたとき、F(X) = ⋎を満たすすべてのXから成る集合を真理集合と呼び、[F]で表現されます。例として、真理関数FとGが等しいためには、その真理集合が一致することが必要十分条件として求められます。

関連項目

真理関数は、数学基礎論や数理論理学、命題論理、ブール代数などと深く関連しています。また、否定、論理和、論理積などの基本的な論理操作や、無矛盾律、排中律、交換法則などの論理学の基本法則についても理解が求められます。

参考文献

さらなる理解を深めるための文献として、前原昭二著の『復刊 数理論理学序説』（共立出版株式会社、2010）が挙げられます。このような資料を通じて、真理関数を含む数理論理学の基本概念を学ぶことができます。

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