確率母関数

確率母関数とは

確率母関数（Probability Generating Function, PGF）は、確率論において重要な役割を果たす関数で、主に離散的な確率変数を扱います。確率変数の確率質量関数をもとに、母関数の形式でその性質を記述することができ、確率分布を簡潔に表現できるため多くの応用があります。また、非負な係数を持つ冪級数に関連する理論を適用する際にも有用です。

定義

単変量の場合

非負整数を値として取る離散的確率変数を $X$ とした場合、確率母関数は以下のように定義されます:

$$ G(z) = E(z^X) = extstyle igg( extstyle igg( igg) igg) extstyle igg( ∑_{x=0}^{∞} p(x)z^x) $$

ここで、$p(x)$ は $X$ の確率質量関数を示し、$E( ullet )$ は期待値を表しています。また、特定の確率変数 $X$ に依存することを明確にするために、通常は $G_X$ や $p_X$ のように記載されることが多いです。この無限級数は、領域 $|z| < 1$ において絶対収束しますが、実際の収束半径はこれよりも大きいことがほとんどです。

多変量の場合

$X = (X_1, ext{...}, X_d)$ を $d$ 次元の確率変数とし、それぞれの $X_i$ が非負整数を取る場合、確率母関数は次のように定義されます:

$$ G(z) = G(z_1, ext{...}, z_d) = E(z_1^{X_1}z_2^{X_2} ext{...} z_d^{X_d}) = ∑_{x_1, ext{...}, x_d = 0}^{∞} p(x_1, ext{...}, x_d) z_1^{x_1} ext{...} z_d^{x_d} $$

ここでも、$p$ は $X$ の確率質量関数を指し、$E( ullet )$ は期待値です。この場合、$z = (z_1, ext{...}, z_d) ext{ が} ext{C}^d$ に属し、$max(|z_1|, ext{...}, |z_d|) ≤ 1$ であれば無限級数は絶対収束します。

性質

確率母関数は冪級数としての特性を持ち、特に以下のような重要な性質があります:

• - $G(1^{-}) = ext{lim}_{x o 1, x < 1} G(x) = 1$ であるため、これは確率分布全体の合計が1になることを示しています。このことから、確率母関数の収束半径は最低でも1です。

確率と期待値の計算

確率母関数は、変数 $X$ に関するさまざまな基本的量を計算するために使用できます。以下はその一部です。

1. 確率母関数の $k$ 次微分を考えることにより、確率 $p(k) = Pr(X = k)$ を得ることができます:
- $p(k) = rac{G^{(k)}(0)}{k!}$

2. 確率母関数が一致する確率変数 $X$ と $Y$ は、その確率質量関数も一致します。

3. 規格化された確率質量関数は $E[1] = G(1^{-}) = ∑_{k=0}^{∞} p(k) = 1$ と表すことができます。

4. 期待値は $E[X] = G'(1^{-})$ と表現できます。さらに、高次のモーメントもまずは確率母関数の微分をとることで求められます。

独立な確率変数に関する関数

確率母関数は、独立な確率変数に関する合成関数を考える際に特に便利です。たとえば、独立な確率変数列 $X_i$（それぞれ非負整数をとる）があるとき、$S_N = extstyle igg( extstyle igg( ∑_{i=1}^N a_i X_i igg)$ に関する確率母関数は次のように表現できます:

$$ G_{S_N}(z) = ∏_{i=1}^N G_{X_i}(z^{a_i}) $$

具体例

1. 退化分布の場合、$X$ が確定値を取る確率母関数は $G_X(z) = z^c$ です。
2. 二項分布の確率母関数は $G(z) = (1-p + pz)^n$ です。
3. ポアソン分布の確率母関数は $G(z) = e^{ heta(z-1)}$で与えられます。

確率母関数は、確率質量関数のZ変換と見なされることが多く、他にも様々な母関数が存在します。これは数学的理論としても極めて興味深く、さまざまな分野で利用されています。

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