秩序変数

秩序変数：相転移を特徴づけるマクロ変数

物質は温度や圧力などの条件によって、固体、液体、気体といった様々な相（状態）を取ります。これらの相の間を移り変わる現象を相転移と呼びますが、相転移を特徴づける重要な概念に秩序変数があります。秩序変数とは、系のマクロな秩序状態を表す変数のことで、その値の変化によって相転移を記述することができます。

例えば、結晶では原子の規則正しい配列が秩序を表し、その配列の程度を秩序変数として捉えることができます。エネルギー、体積、物質量といった熱力学的な変数だけでは、結晶の向きの違いといった秩序状態の違いを区別することはできません。秩序変数を導入することで、これらの状態を区別できるようになります。

相転移においては、秩序変数の値が転移温度（または転移圧力など）で変化します。転移温度以下では有限の値を持ち、転移温度以上ではゼロになる、あるいは不連続に変化するといった特徴があります。秩序変数の変化が不連続な場合を一次相転移、連続的な場合を二次相転移と呼びます。

様々な相転移における秩序変数の具体例

様々な相転移において、秩序変数は系の性質を反映した形で定義されます。以下にいくつかの例を示します。

1. 気体・液体・固体相転移

気体・液体相転移: 密度差が秩序変数として用いられます。臨界点以上では気体と液体の密度差はゼロとなり、秩序変数もゼロとなります。
液体・固体相転移: 結晶構造を反映した秩序変数が用いられます。例えば、粒子の密度分布のフーリエ変換が秩序変数として用いられ、結晶構造を持つ固体では有限の値、液体ではゼロとなります。

2. 磁気相転移

磁性体の相転移（例えば強磁性と常磁性の相転移）では、磁化が秩序変数として用いられます。低温ではスピンが揃い磁化が有限の値を持ちますが、転移温度以上ではスピンの向きがランダムになり磁化はゼロとなります。

3. 超伝導相転移

ギンツブルグ＝ランダウ理論: 巨視的波動関数が秩序変数として用いられます。これは超伝導体全体が巨視的な量子状態として振る舞うことを反映しています。
BCS理論: クーパー対（電子対）の消滅演算子の期待値、またはエネルギーギャップが秩序変数として用いられます。低温相ではクーパー対が形成され秩序変数は有限の値を持ち、超伝導状態となります。

4. 超流動相転移

ヘリウム4のボース・アインシュタイン凝縮では、最低エネルギー状態を占有するボース粒子の数、またはボース粒子の消滅演算子の行列要素が秩序変数として用いられます。

5. 液晶相転移

ネマティック液晶のネマティック相と等方相の相転移では、配向秩序度が秩序変数として用いられます。低温では分子の配向が揃い秩序変数は1となりますが、転移温度以上ではランダムになりゼロとなります。

6. クォーク・ハドロン相転移

クォークとグルーオンからなるクォークグルーオンプラズマとハドロンの相転移では、カイラル凝縮やポリャコフ・ループの真空期待値などが秩序変数として用いられます。

7. 電弱相転移

電磁相互作用と弱い相互作用の相転移では、ヒッグス場の真空期待値が秩序変数となります。低温相ではヒッグス粒子が凝縮しウィークボソンは質量を持ちますが、高温相ではヒッグス粒子は凝縮せずウィークボソンは質量を持たなくなります。

ランダウ理論とギンツブルグ＝ランダウ理論

秩序変数を用いた相転移の理論として、ランダウ理論とギンツブルグ＝ランダウ理論が知られています。

ランダウ理論は、ヘルムホルツの自由エネルギーを秩序変数のべき級数で展開し、その極小値を求めることで秩序変数の値、ひいては相の状態を決定する理論です。磁気相転移や液晶相転移の記述に用いられます。

ギンツブルグ＝ランダウ理論は、超伝導相転移を記述する理論で、ヘルムホルツの自由エネルギーを巨視的波動関数のべき級数で展開します。

これらの理論は、相転移の近傍における現象を比較的単純に記述できるため、広く用いられています。しかしながら、臨界点近傍の現象を正確に記述するには、臨界現象の理論が必要となります。

秩序変数は、相転移を理解する上で非常に重要な概念であり、様々な物理現象を統一的に記述する上で不可欠なツールとなっています。

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