積分回路
積分回路は、入力電圧の波形を時間積分した波形の電圧を出力する電気回路です。この回路は、コンデンサ両端の電圧が、流れ込んだ電流の積分、すなわち電荷の総量に比例するという性質を利用しています。
電気回路を流れる電流は、荷電粒子（電子など）の移動、つまり電荷の流れです。導体に電流 `i` が時間 `t=0` から `t` 秒間流れたとき、導体を通過した電荷の総量 `q` は次のように表されます。
math
q = \int_{0}^{t} i dt
コンデンサのように導体間に誘電体を挟んだ場合、誘電体中には自由電子がないため、流れ込んだ電流は誘電体の境界面に電荷として蓄積されます。この時の電荷量 `q` は、初期電荷 `Q_0` を考慮すると以下のようになります。
math
q = \int_{0}^{t} i dt + Q_0
ここで、`Q_0` は時間 `t=0` における誘電体の初期電荷です。静電誘導により、誘電体を挟んで電位差 `v` が生じ、複雑な形状でなければ `v` は `q` に比例します。比例定数を `C` とすると、次の関係が成り立ちます。
math
v = \frac{q}{C} = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i dt
次に、RC直列回路に交流電圧 `V` を印加する場合を考えます。初期状態ではコンデンサ `C` の電荷 `Q_0 = 0` とすると、時間 `t=0` ではオームの法則に従い、`I_0 = V_{in} / R` の電流が流れます。コンデンサに電荷が蓄積されると、逆起電力が発生し、抵抗 `R` の分圧が低下し、回路を流れる電流は減少します。しかし、交流の周波数 `f` が十分に高い場合、コンデンサは短絡とみなせるため、電流 `I` は常に `I = V_{in} / R` で与えられます。この時、コンデンサ両端の電圧 `V_C` は次のようになります。
math
V_C = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} I dt = \frac{1}{RC} \int_{0}^{t} V_{in} dt
この式から、RC回路の両端には入力電圧 `V` を積分した波形の電圧が現れることがわかります。
より精度の高い積分波形を得るために、オペアンプなどの増幅器を用いた回路が用いられます。この回路は「ミラー積分回路」と呼ばれます。理想的なアンプを仮定すると、非反転入力端子には電流が流れ込まないため、抵抗 `R` を流れる電流 `I` は、そのままコンデンサ `C` に流れ込みます。オペアンプの非反転入力端子は仮想接地されているため、`R` を流れる電流の大きさは `I_0 = V / R` となります。これにより、以下の式が成り立ちます。
math
I = \frac{V_{in}}{R} = -C \frac{dV_{out}}{dt}
初期状態において、コンデンサ `C` の電荷が放電されているとすると、出力電圧 `V_{out}` は次のようになります。
math
V_{out} = -\frac{1}{RC} \int_{0}^{t} V_{in} dt
この式から、入力信号を積分した出力が得られることがわかります。
ミラー積分回路の特性をより詳細に分析するために、以下の式を用います。
math
\begin{aligned}
&\left\{\begin{aligned}
&Vi=\left(\frac {R+1}{SC}\right)i+Vo\\
&-(Vi-R\cdot i)\mu =Vo
\end{aligned}\right.&\quad\quad\begin{aligned}
&(1)\\
&(2)\ \text{より}
\end{aligned}\\
&\quad \mu Vi=\mu R\cdot i-Vo&\quad\quad\begin{aligned}(2)\end{aligned}\\
&{\begin{aligned}{\begin{aligned}
\quad \ \therefore \Delta =\\\
\end{aligned}}&\begin{aligned}
\left| {\begin{aligned}
&\frac {R+1}{SC},&1\\
&\mu R,&-1\end{aligned}} \right|
\end{aligned}\\
=&-\left\{\left(\mu +1\right)R+{\frac {1}{SC}}\right\}
\end{aligned}&\quad\quad\begin{aligned}\\\\(3)\end{aligned}\\
&{\begin{aligned}{\begin{aligned}
\quad \ \Delta Vo=\\\
\end{aligned}}&\begin{aligned}
\left| {\begin{aligned}
&\frac {R+1}{SC},&1\\
&\mu R,&\mu \end{aligned}} \right|{\begin{aligned}Vi\\
\end{aligned}}\\
\end{aligned}\\
=&\mu \left({\frac {1}{SC}}\right)\cdot Vi
\end{aligned}&\quad\quad\begin{aligned}\\\\(4)\end{aligned}\\
&{\begin{aligned}{\frac {Vo}{Vi}}&=(4)/(3)/Vi\\
&=-1/\left\{\left(\mu +1\right)/\mu \cdot SCR+1/\mu \right\}\\
&\fallingdotseq -\left({\frac {1}{CR}}\right)\cdot \left({\frac {1}{S}}\right)
\end{aligned}&\quad\quad\begin{aligned}\\\\(5)\ \text{積分}
\end{aligned}
\end{aligned}
ここで、`Vi` は入力電圧、`Vo` は出力電圧、`i` は電流、`μ` は増幅率、`S` は複素周波数、`C` はコンデンサの容量、`R` は抵抗です。この式より、出力電圧は入力電圧の積分に比例することが確認できます。
実際のオペアンプは理想的ではないため、入力端子にバイアス電流が流れ込み、増幅度が有限であるため、誤差が生じます。また、信号を入力しなくても出力電圧が発生することがあります。初期の積分回路は真空管で構成され、直線性の良さからオシロスコープの時間軸信号発生回路や、アナログ計算機で演算増幅器と組み合わせて使用されていました。真空管の入力電流はほぼゼロでしたが、半導体アンプでは素子が電流制御であるため、FET入力オペアンプを使用したり、入力にバイアス抵抗を接続して放電させるなどの工夫が必要です。時間軸発生などの繰り返し型では、初期化されるため問題は少なくなります。
RC回路における積分
電気回路を流れる電流は、荷電粒子（電子など）の移動、つまり電荷の流れです。導体に電流 `i` が時間 `t=0` から `t` 秒間流れたとき、導体を通過した電荷の総量 `q` は次のように表されます。
math
q = \int_{0}^{t} i dt
コンデンサのように導体間に誘電体を挟んだ場合、誘電体中には自由電子がないため、流れ込んだ電流は誘電体の境界面に電荷として蓄積されます。この時の電荷量 `q` は、初期電荷 `Q_0` を考慮すると以下のようになります。
math
q = \int_{0}^{t} i dt + Q_0
ここで、`Q_0` は時間 `t=0` における誘電体の初期電荷です。静電誘導により、誘電体を挟んで電位差 `v` が生じ、複雑な形状でなければ `v` は `q` に比例します。比例定数を `C` とすると、次の関係が成り立ちます。
math
v = \frac{q}{C} = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i dt
次に、RC直列回路に交流電圧 `V` を印加する場合を考えます。初期状態ではコンデンサ `C` の電荷 `Q_0 = 0` とすると、時間 `t=0` ではオームの法則に従い、`I_0 = V_{in} / R` の電流が流れます。コンデンサに電荷が蓄積されると、逆起電力が発生し、抵抗 `R` の分圧が低下し、回路を流れる電流は減少します。しかし、交流の周波数 `f` が十分に高い場合、コンデンサは短絡とみなせるため、電流 `I` は常に `I = V_{in} / R` で与えられます。この時、コンデンサ両端の電圧 `V_C` は次のようになります。
math
V_C = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} I dt = \frac{1}{RC} \int_{0}^{t} V_{in} dt
この式から、RC回路の両端には入力電圧 `V` を積分した波形の電圧が現れることがわかります。
アンプを用いた積分回路
より精度の高い積分波形を得るために、オペアンプなどの増幅器を用いた回路が用いられます。この回路は「ミラー積分回路」と呼ばれます。理想的なアンプを仮定すると、非反転入力端子には電流が流れ込まないため、抵抗 `R` を流れる電流 `I` は、そのままコンデンサ `C` に流れ込みます。オペアンプの非反転入力端子は仮想接地されているため、`R` を流れる電流の大きさは `I_0 = V / R` となります。これにより、以下の式が成り立ちます。
math
I = \frac{V_{in}}{R} = -C \frac{dV_{out}}{dt}
初期状態において、コンデンサ `C` の電荷が放電されているとすると、出力電圧 `V_{out}` は次のようになります。
math
V_{out} = -\frac{1}{RC} \int_{0}^{t} V_{in} dt
この式から、入力信号を積分した出力が得られることがわかります。
ミラー積分回路の特性
ミラー積分回路の特性をより詳細に分析するために、以下の式を用います。
math
\begin{aligned}
&\left\{\begin{aligned}
&Vi=\left(\frac {R+1}{SC}\right)i+Vo\\
&-(Vi-R\cdot i)\mu =Vo
\end{aligned}\right.&\quad\quad\begin{aligned}
&(1)\\
&(2)\ \text{より}
\end{aligned}\\
&\quad \mu Vi=\mu R\cdot i-Vo&\quad\quad\begin{aligned}(2)\end{aligned}\\
&{\begin{aligned}{\begin{aligned}
\quad \ \therefore \Delta =\\\
\end{aligned}}&\begin{aligned}
\left| {\begin{aligned}
&\frac {R+1}{SC},&1\\
&\mu R,&-1\end{aligned}} \right|
\end{aligned}\\
=&-\left\{\left(\mu +1\right)R+{\frac {1}{SC}}\right\}
\end{aligned}&\quad\quad\begin{aligned}\\\\(3)\end{aligned}\\
&{\begin{aligned}{\begin{aligned}
\quad \ \Delta Vo=\\\
\end{aligned}}&\begin{aligned}
\left| {\begin{aligned}
&\frac {R+1}{SC},&1\\
&\mu R,&\mu \end{aligned}} \right|{\begin{aligned}Vi\\
\end{aligned}}\\
\end{aligned}\\
=&\mu \left({\frac {1}{SC}}\right)\cdot Vi
\end{aligned}&\quad\quad\begin{aligned}\\\\(4)\end{aligned}\\
&{\begin{aligned}{\frac {Vo}{Vi}}&=(4)/(3)/Vi\\
&=-1/\left\{\left(\mu +1\right)/\mu \cdot SCR+1/\mu \right\}\\
&\fallingdotseq -\left({\frac {1}{CR}}\right)\cdot \left({\frac {1}{S}}\right)
\end{aligned}&\quad\quad\begin{aligned}\\\\(5)\ \text{積分}
\end{aligned}
\end{aligned}
ここで、`Vi` は入力電圧、`Vo` は出力電圧、`i` は電流、`μ` は増幅率、`S` は複素周波数、`C` はコンデンサの容量、`R` は抵抗です。この式より、出力電圧は入力電圧の積分に比例することが確認できます。
実用上の注意点
実際のオペアンプは理想的ではないため、入力端子にバイアス電流が流れ込み、増幅度が有限であるため、誤差が生じます。また、信号を入力しなくても出力電圧が発生することがあります。初期の積分回路は真空管で構成され、直線性の良さからオシロスコープの時間軸信号発生回路や、アナログ計算機で演算増幅器と組み合わせて使用されていました。真空管の入力電流はほぼゼロでしたが、半導体アンプでは素子が電流制御であるため、FET入力オペアンプを使用したり、入力にバイアス抵抗を接続して放電させるなどの工夫が必要です。時間軸発生などの繰り返し型では、初期化されるため問題は少なくなります。
関連事項
もう一度検索
【記事の利用について】
タイトルと記事文章は、記事のあるページにリンクを張っていただければ、無料で利用できます。
※画像は、利用できませんのでご注意ください。
【リンクついて】
リンクフリーです。